Kolmogorov-Smirnov 寻找数据的 cdf 和经验 cdf 之间的最大差异。

还有另一个测试——Cramér-von Mises 测试——查看 cdf 差异的平方和（在数据处）。它通常比 Kolmogorov-Smirnov 对我们想要获取的差异更敏感（因为它可以“累积”小的但一致的差异，而不是需要一个大的差异）。

这两个测试的问题在于 cdf 的尾部比中间更精确（在同样的意义上，人口比例接近 0 或 1 的样本估计值的方差低于接近 0.5 的样本估计值）。

证明这一点的代数并不是特别困难，但是我们可以很容易地观察到这一点，而无需进行数学运算；我们不需要执行它来获得对正在发生的事情的直觉；我们可以做一些更简单的事情。

这里我模拟了从标准制服中抽取的 100 组数据，每个数据集的样本大小为 25。然后我绘制了每个数据集的经验 cdf（第一个这样的数据集以蓝色显示；其余的都是灰色和对于那些我没有在每个步骤的左侧绘制点的人，只是步骤本身）：

正如我们在图中看到的，当总体 cdf 接近 0.5 时（垂直）分布最宽，当总体 cdf 接近 0 或 1 时最窄；人口 cdf ( ) 是从 (0,0) 到 (1,1) 的对角线。经验 cdf 的抽样分布中这种变化分布的模式发生在每个分布中；的标准差）仅与和。$F$$\hat{F}$$n$$F(1-F)$

我们可以利用像 Kolmogorov-Smirnov 和 Cramér-von Mises 测试这样的简单测试忽略的附加信息。

如果您计算 Cramér-von Mises 的加权版本（权重与该方差成反比），那么您最终会得到 Anderson-Darling 统计量；也就是说，它正确地（在特定意义上最佳地）解释了尾部的 cdf 被更精确地估计的事实；这使得它对尾部的差异比前两个统计数据更敏感，前两个统计数据没有使用我们可以更精确地估计尾部 cdf 的事实。