鉴于：

• $X \sim \text{Beta}(a,b)$与 pdf：$f(x)$

• $Y \sim \text{Gamma}(k,\theta)$与 pdf：$g(y)$

解决方案：然后，产品的 pdf可以通过以下方式自动导出：$Z = X Y$

我在哪里使用mathStatica包中的TransformProduct函数Mathematica，其中表示 Kummer 汇合超几何函数： http ://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Hypergeometric1F1.htmlHypergeometric1F1

这个公式很好用，除了参数整数值的某些组合（不确定 - 请参见下面的讨论）。[如果说和，只需输入作为 3.0000001 ，它将回避问题。]$a = 4$$k = 3$$k$

快速蒙特卡罗检查

使用蒙特卡罗方法检查符号解总是一个好主意。这是上面推导的精确理论解（红色虚线曲线）与产品 pdf 的经验蒙特卡罗模拟（波浪形蓝色）的快速比较，当${a = 3, b = 6, k = 2.2, \theta = 5}$

全部完成。

这种分布在本文中称为Gamma-Inverse Beta分布。它在 R 包中可用。brr

nsims <- 1e6
alpha <- 3
beta <- 5
K <- 6
theta <- 4
sims <- rgamma(nsims, shape = K, rate = theta) * rbeta(nsims, alpha, beta)

plot(density(sims, to=3))
curve(brr::dGIB(x, K, beta, alpha, theta), # note that alpha and beta are swapped
      add = TRUE, col = "red", lwd = 2, lty = "dashed")

这是它的密度函数：

> brr::dGIB
function (x, a, alpha, beta, rho) 
{
    exp(lnpoch(beta, alpha) - lngamma(a)) * rho^a * x^(a - 1) * 
        exp(-rho * x) * hyperg_U(alpha, a - beta + 1, rho * x)
}

$$\frac{{(\beta)}_\alpha}{\Gamma(a)}\rho^a x^{a-1} \exp(-\rho x) U(\alpha, a-\beta+1, \rho x), \qquad x > 0$$ 在哪里$U$是 Tricomi 超几何函数。

这种分布可以推广到随机矩阵。它是第二类的 II 型融合超几何函数分布（参见 Gupta 和 Nagar 的书Matrix variate distributions）。

library(matrixsampling)
sims2 <- rmatrixCHIIkind2(20000, nu = K, alpha = beta, 
                          beta = K+1-alpha, theta = 1/theta, p = 1)
lines(density(sims2, to=3), col = "orange", lwd = 2, lty = "dashed")

mgf在 Gupta & Nagar 的书中给出。使用您的符号，这给出了

$$\textrm{mgf}(t) = {}_2\!F_1(\alpha, K, \alpha+\beta, t/\theta).$$

library(gsl)
hyperg_2F1(alpha, K, beta+alpha, 0.2/theta)
## [1] 1.121871
mean(exp(0.2*sims))
## [1] 1.121846