我对的分布宽度感兴趣。它的方差如何随样本大小变化？$Y_m$$N$

$\text{var}(X_i^m) = E[X_i^{2m}] - (E[X_i^m])^2$很容易从矩生成函数的随机变量（或来自 mpiktas 评论中建议的特征函数）。由于这个方差不依赖于，让我们用来表示它。然后，由于是独立随机变量（它们是独立随机变量的函数），我们有 $\exp(\sigma^2t^2/2 + \mu t)$$N(\mu, \sigma^2)$$X_i$$i$$\text{var}(X^m)$$X_i^m$

$$\text{var}(Y_m) = \text{var}\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i^m\right) = \frac{1}{N^2}\left(\sum_{i=1}^N \text{var}(X_i^m)\right) = \frac{1}{N}\text{var}(X^m)$$ 请注意，上面显示的方程不要求是正态随机变量。对于 iid 随机变量（具有有限二阶矩），个变量的平均值，始终，即方差始终按比例缩放。对于一般分布，切比雪夫不等式可用于获得分布宽度的弱界限。有关相关讨论，请参见此处。$X_i$$Z_i$$N^{-1}\sum_i Z_i$$N$ $N^{-1}\text{var}(Z)$$1/N$