在评估模型时，我无法理解参数估计值及其标准误差告诉我们什么。例如，这是我在 R 中创建的 Arima(2,1,0) 模型的估计值：
Coefficients:
ar1 ar2
1.0251 -0.1781
s.e. 0.2204 0.2193
我听说过诸如“ar1 很重要，因为它的估计值是 se 的两倍多”之类的东西，但我不明白为什么这个标准使它“好”。按照这个逻辑，包含第二个参数看起来不太好。
那么参数究竟是如何分布的，我们如何解释它们的估计值和标准误差呢？
估计的 AR 参数的标准误差与任何其他估计的标准误差具有相同的解释：它们是（估计）其抽样分布的标准偏差。
这个想法是存在一些未知但固定的基础数据生成过程（DGP），由未知但固定的 ARIMA 过程控制。您观察到的特定时间序列是此过程的单一实现。如果你现在去采样这个 DGP 产生的许多时间序列，那么由于不同的创新，它们看起来都会有些不同。但是，您可以将 ARIMA 模型拟合到所有这些模型。然后，您当然会为每个时间序列获得不同的 AR 参数估计值。
AR 估计的标准误差是这些 AR 估计的标准差的估计。
模拟可能会有所帮助。下面，我将使用带参数的 AR(2) 模型. 我将使用此模型生成长度为 100 的时间序列，然后拟合 AR(2) 模型，存储 AR 参数估计值 - 并重复 10,000 次。最后，我绘制了参数估计的直方图，加上红色垂直线的实际值 - 然后将 AR 参数估计的标准偏差与估计的标准误差（平均值）进行比较。而且两人一拍即合。
nn <- 100
n.sims <- 10000
true.model <- list(ar=c(1.0,-0.2))
params <- ses <- matrix(NA,nrow=n.sims,ncol=length(true.model$ar))
for ( ii in 1:n.sims ) {
set.seed(ii)
series <- arima.sim(model=true.model,n=nn)
model <- arima(series,order=c(2,0,0),include.mean=FALSE)
params[ii,] <- coefficients(model)
ses[ii,] <- sqrt(diag(model$var.coef))
}
opar <- par(mfrow=c(1,2))
for ( jj in seq_along(true.model$ar) ) {
hist(params[,jj],col="grey",xlab="",main=paste0("AR(",jj,") parameter"))
abline(v=true.model$ar[jj],lwd=2,col="red")
}
par(opar)
apply(params,2,sd)
# [1] 0.09844388 0.09795008
apply(ses,2,mean)
# [1] 0.09754488 0.09833490
请注意，我使用零均值进行模拟，并明确告知arima()不要使用均值。并且整个练习关键取决于我们肯定知道 ARIMA 订单的假设！如果我们首先需要选择正确的顺序，那么一切都会有偏差，标准误就会失去解释。（是的，这种做法让这一切都成为了某种理论性和学术性的练习。）
如果你想更深入地研究数学，任何数学时间序列教科书都应该做得很好。（标题中带有“业务”的任何内容都可能掩盖这些细节。）我最近浏览了 Brockwell 和 Davies 的《时间序列：理论和方法》（2006 年），看起来不错，但我想不起来这个主题是否是在那里的任何深度进行处理。