负二项式 MGF 收敛到 Poisson MGF

机器算法验证 自习 泊松分布 收敛 负二项分布 力矩生成函数
2022-03-30 09:14:07

这个问题是Casella 和 Berger在统计推断中的练习 3.15 它要求证明负二项式的 MGF 收敛到 Poisson分布的 MGF,当 Neg(r,p)P(λ)

r,p1,r(1p)λ

的 MGF 的公式是:XNeg(r,p)

MX(t)=pr[1et(1p)]r

仅考虑分母,我们有 作为,这会收敛到现在再次考虑整个公式,让得到 )的 MGF我似乎在正确的轨道上,只是在某个地方犯了错误。谁能发现我的错误?

[1et(1p)]r=[1+1retr(p1)]r=[1+1ret(λ)]r
reλetrp1eλetλeλ(et1)

3个回答

会犯错误pr如果您考虑 MGF并使用渐近等价 这表明 MGF 的极限值是 本练习中要求的

MX(t)=pr[1et(1p)]r,
log{MX(t)}=rlog(p)rlog{1et(1p)}
rlog(p)rlog{1et(1p)}=rlog(1[1p])rlog{1et(1p)}r[1p]+ret(1p)λ[1+et]
exp{λ[et1]}

注意:对于 𝒩eg(n,p) 分布,有两种版本的 MGF,一种用于试验次数,一种用于失败次数。当前版本是失败次数的 MGF,它像泊松分布一样从零开始。

Mx(t)=[p1et(1p)p]r=[1(1p)1et(1p)p]=[1r(1p)r1etr(1p)rp]=er(1p)eetr(1p)=eλeetλ
通过应用给定的条件,我们得到了想要的结果

上面的答案是正确的,你忽略了分子pr,但我发现插图有点混乱,所以我们在这里寻求一个标准的方法来解决问题

limrMNB(t)=limr(p1(1p)et)r=limr(1(1p)1(1p)et)r=limr(1+1r(λ))r(1+1ret(λ))rr(1p)=λ1p=λr=eλeλet=eλ(et1)

这是泊松分布MGF

注意:Casella 和 Berger 的 Statistical Inference 书中的引理 2.3.14 陈述了一个有用的限制,当我们有limnan=a

limn(1+ann)n=ea