令和为对应正态分布的参数（分别为均值和标准差）。给定对数正态平均值和百分位数的值，我们需要找到和。$\mu$$\sigma$$m$$z$$\alpha$$\mu$$\sigma \gt 0$

为此，设为标准正态分布函数。两条信息是$\Phi$

• $m = \exp(\mu + \sigma^2/2)$，其中。$\mu + \sigma^2/2 = \log(m)$

• $\log(z) = \mu + \sigma \Phi^{-1}(\alpha).$

从第一个中减去第二个并乘以产生$2$

$$\sigma^2 - 2\Phi^{-1}(\alpha)\sigma + 2(\log(z) - \log(m)) = 0.$$

中的二次方程，用通常的二次公式求解。将有零个、一个或两个解决方案。接近时，可能会出现两种解。$\sigma$$\alpha$$1$

$\mu$然后通过使用任何一个原始方程，找到例如，$\sigma$

$$\mu = \log(m) - \sigma^2/2$$

会做得很好。

（一种特殊情况是当时，对应于中位数，其中的公式简化为这是 @Glen_b 在Can I get the parameters of a lognormal distribution of a sample mean & median? 获得的解，它使用“ ”表示“ “。）$\alpha=1/2$$\Phi^{-1}(\alpha) = 0$$\sigma$

$$\sigma^2 + 2(\log(z) - \log(m)) = 0.$$ $\tilde{m}$$z$

为了将这些估计值与数据拟合，请考虑测量拟合优度，以便在可用时区分两个解决方案。一个统计应该做的很好。此方法在以下代码中进行了说明，该代码模拟数据、执行分析、绘制数据直方图并绘制解决方案。当解决方案不合适时，它的情节就会淡出。这是一个例子。$\chi^2$R

#
# Given a mean `m` and `alpha` quantile `z, find the matching parameters of any 
# lognormal distributions.
#
f <- function(m, z, alpha) {
  B <- -2 * qnorm(alpha)
  C <- 2*(log(z) - log(m))
  sigma <- (-B + c(-1,1)*sqrt(B^2 - 4*C)) / 2
  sigma <- sigma[sigma > 0 & !is.na(sigma)]
  mu <- log(m) - sigma^2 / 2
  return(cbind(mu=mu, sigma=sigma))
}
#
# Compute a chi-squared statistic for data `x` corresponding to binning
# a lognormal distribution with parameter `theta` into `n` equal-size bins.
#
chi.squared <- function(theta, x, n=4) {
  cutpoints <- exp(qnorm(seq(0, 1, length.out=n+1), theta[1], theta[2]))
  counts <- table(cut(x, cutpoints))
  expected <- length(x) / n
  stat <- sum((counts - expected)^2 / expected)
}
#
# Simulate data, compute their statistics, and estimate matching lognormal
# distributions.
#
set.seed(17)
x <- exp(rnorm(20, sd=0.4))
m <- mean(x)
alpha <- 0.9
z <- quantile(x, alpha)
theta <- f(m, z, alpha)
stats <- apply(theta, 1, chi.squared, x=x)
#
# Plot the data and any matching lognormal density functions.
#
hist(x, freq=FALSE, breaks=12)
col <- "Red"
invisible(apply(theta, 1, function(q) {
  stat <- chi.squared(q, x, min(length(x), 5))
  curve(dnorm(log(x), q["mu"], q["sigma"])/x, add=TRUE, lwd=2,
        col=hsv(0, min(1, 2/sqrt(1 + 10*stat/length(x))), 0.9))
}))