机器算法验证 - 科尔莫哥洛夫分布 - 吾爱随笔录

科尔莫哥洛夫分布

机器算法验证 r 分布 kolmogorov-smirnov 测试

2022-04-02 11:01:36

R 中是否有用于 Kolmogorov 分布的包，它允许我绘制密度、分布、计算分位数等？

Kolmogorov 分布来自 $K=\sup|B|$ ，其中 $B$ 是布朗桥。它的值通常是表格的，所以我认为它在 R 中有自己的功能，就像正态分布一样。

似乎ks.test()将此用于cdf：

 pkolmogorov1x <- function(x, n) {
                  if (x <= 0) 
                    return(0)
                  if (x >= 1) 
                    return(1)
                  j <- seq.int(from = 0, to = floor(n * (1 - 
                    x)))
                  1 - x * sum(exp(lchoose(n, j) + (n - j) * log(1 - 
                    x - j/n) + (j - 1) * log(x + j/n)))
                }

2个回答

显示的函数实现了单侧 KS 统计量的 CDF

D_{n}^{+} = sup_{x} {{\hat{F}}_{n} (x) - F (x)},

$D_n^{+} = \sup_{x}\{\hat{F}_n(x) - F(x)\},$

其中是理论（连续）CDF，是大小为的样本的经验 CDF 。因此，在问题中显示了一个 CDF： $F(x)$ $\hat{F}_n(x)$ $n$ $D_n^{+}$

F_{D_{n}^{+}} (x) = 1 - x \sum_{j = 0}^{⌊ n (1 - x) ⌋} (\binom{n}{j}) {(\frac{j}{n} + x)}^{j - 1} {(1 - x - \frac{j}{n})}^{n - j}

$F_{D_n^{+}}(x) = 1-x\sum_{j=0}^{\lfloor n(1-x)\rfloor} {n\choose j}\left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1-x-\frac{j}{n}\right)^{n-j}$

资料来源：Simard 和 L'Ecuyer (2011)

两侧 KS 统计量

D_{n} = sup_{x} | {\hat{F}}_{n} (x) - F (x) |

$D_n=\sup_x|\hat{F}_n(x)-F(x)|$

没有这么简单的表达。它可以使用 Durbin 矩阵精确计算——前面提到的 Marsaglia、Tsang 和 Wang 提供了这样的实现，但是对于大的，它的计算成本非常高，而且它还可能在某些输入上产生s （Simard 和 L'Ecuyer，2011）。Simard 和 L'Ecuyer 给出了和的组合选择不同的方法来提供精确和高效的实现。他们发布了 C 代码，但没有发布 R 包。我正在努力在 Fortran 中实现他们的方法并提高 Durbin 矩阵方法的效率（来自Carvalho，2015 年）。我将添加R接口。 $n$ NaN $D_n$ $n$ $x$

如果您正在寻找作为的有限分布，您可以使用 Wikipedia 中的系列——它收敛得很快。此外，维基百科文章给出了 Vrbik 的更正，以使该系列适用于适中的值。 $\sqrt{n}D_n$ $n\to\infty$ $n$

维基百科链接中提供了 Kolmogorov-Smirnov CDF 的表达式：

http://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov%E2%80%93Smirnov_test#Kolmogorov_distribution

科尔莫哥洛夫分布

Kolmogorov 分布是随机变量其中是布朗桥。的累积分布函数由 $K=\sup_{t\in[0,1]}|B(t)|$ $B(t)$ $K$ $\operatorname{Pr}(K\leq x)=1-2\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} e^{-2k^2 x^2}=\frac{\sqrt{2\pi}}{x}\sum_{k=1}^\infty e^{-(2k-1)^2\pi^2/(8x^2)}.$

请注意，此分布作为渐近结果出现，在同一链接中进行了详细说明。

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