复合伽马/负二项分布的分位数是否有任何公式？也就是说，假设我们有
并且有条件,
其中每个是独立同居. 给定的值和，我想计算分位数.
背景：我正在模拟每天的 ATM 取款。我假设的取款数量呈负二项分布，每次取款的数量呈伽马分布。我可以从数据中估计所有参数，现在我想估计在 ATM 中保留多少现金。保持太少的现金可能无法满足需求，但太多也是不好的。因此，我想估计需要多少现金才能满足给定现金风险水平的需求。也就是说，我想要复合分布的上分位数，比如 99%、99.9% 或 99.99% 的水平。
现在我正在使用模拟来获得估计，但这需要很长时间，尤其是对于非常高的分位数。例如，如果我想获得 99.99% 的分位数，我至少需要 10,000 次复制，而且理想情况下远不止这些；我还需要为每个 ATM 重复此操作。所以某种分析近似会很棒。
（我意识到实际的分配可能比简单的 negbin/gamma 组合更复杂。例如，观察到的提款将被正确审查，因为如果 ATM 用完现金，那么当天就没有更多的提款了。我正在保留东西简单的开始。）
作为对您要解决的实际问题的实际答案，如此高的分位数通常对模型选择的问题非常敏感（尤其是您是否为正确的审查建模以及组件中尾部的重量）。
但无论如何——尤其是在处理普通模拟变得不切实际的高分位数时——这本身就具有很大的价值；从理论和实践的角度来看，这是一个有趣的问题。
解决这个问题的其他几种方法是（1）使用快速傅里叶变换和（2）直接数值积分。
罗和舍甫琴科 (Luo and Shevchenko) (2009).
在其中，他们开发了一种自适应直接数值积分方法，该方法比模拟更快并且与 FFT 竞争。
精算工作中更传统的方法是 (3) Panjer 递归，它可以在许多文本中找到。恩布雷希茨和弗雷 (2009)讨论和比较 Panjer 递归和 FFT。（请注意，这两种技术都涉及连续分布的离散化。）
另一方面，做一个非常简单的模拟版本，并且不费吹灰之力地提高效率，从复合伽马负二项式生成并不是特别繁重。这是我孩子的小笔记本电脑上的时间：
system.time(replicate(100000,sum(rgamma(MASS:::rnegbin(1,4,2),5,.1))))
user system elapsed
2.82 0.00 2.84
我认为 2.8 秒生成 100在缓慢的小型笔记本电脑上进行复合分布的 000 次模拟确实不错。通过一些努力提高效率（其中一个可能会提出很多可能性），我想这可以更快地完成。
这是 ecdf模拟（大约需要 29 秒）：
我们在复合分布中看到了您期望看到的零处的特征离散跳跃。
[虽然让模拟变得更快应该很容易，但这里提到的所有三个替代方案——如果执行得当——应该会更快。]
您应该注意，该actuar包支持使用复合分布进行计算，并提供了几种使用它们进行计算的方法。
例如，请参阅讨论此设施的此小插曲。
[可能有一些进一步的兴趣，请注意有一个用于泊松对数正态分布的 R 包 - poilog；如果您在某些时候需要该发行版，它可能会很有用。]
在编辑中添加：
伽马形状参数不变的潜在快速近似值 -
在伽马的情况下，因为具有恒定形状参数的伽马卷积是另一个伽马，你可以写下，然后在每个处评估大量网格值处的 cdf 和密度，然后简单地直接累加总和（而不是像 KDE 那样）。直接计算只会产生真实分位数的下限，但如果负二项式不是重尾的，它应该很快。
参考资料：
[1]：Luo, X. 和 Shevchenko, PV (2009)，
“使用直接数值积分计算复合分布的尾部”
，计算金融杂志，13 (2)，73-111。
[arXiv 预印本在这里]
[2]：Embrechts, P. 和 Frei, M. (2009)，
“Panjer 递归与 FFT 的复合分布”
，运筹学数学方法，69 :3（7 月）第 497-508 页。[这里
似乎是预发布版本]