假设我有一个（连续）分布族$\mathcal{P}=\{P_\theta(x),\theta\in\mathbb{R}^+\}$. 我也有统计$T(x)$这足以$\theta$.

参数值$\theta$未知，我对它的兴趣仅限于测试$H_0:\theta=0$对比$H_1:\theta>0$.

显然，备择假设$H_1$是复合的，因此 Neyman-Pearson 引理不适用。此外，不幸的是，“简单”的统一最强大（UMP）测试公式不适用，因为我不认为密度族$p_\theta(x)$具有单调似然比（参见Lehmann 和 Romano 第 65 页）。事实上，虽然，对于任何$\theta <\theta'$, 分布$P_\theta$和$P_{\theta'}$是不同的，比率$p_{\theta'}(x)/p_\theta(x)$是一个非增（相对于非减）函数$T(x)$.

我了解最大似然估计器 (MLE)$\hat{\theta}_{MLE}$的$\theta$是一个函数$T(x)$. 但是什么是$T(x)$与假设检验的关系？

我问是因为解决我的问题的简单测试可以构造如下：首先，选择阈值$\eta$，然后计算估计$\hat{\theta}_{MLE}$, 并接受$H_0$如果$\hat{\theta}_{MLE}<\eta$，否则拒绝。错误概率取决于选择的$\eta$和价值$\theta$. 但是，关于上述测试的最优性（以某种方式，形状或形式）有什么可说的吗？有没有什么条件$\mathcal{P}$除了上述导致最优性的单调似然函数（可能比 UMP 弱）？测试使用$\hat{\theta}_{MLE}$似乎是我能做的最好的，但是，有没有办法证明这个说法？