简单来说，不存在连续随机变量和离散随机变量的联合密度，因为所有概率质量都位于两条直线（和）上，在这些线上，联合 密度，是每单位面积的概率质量，是无限的。另一方面，两条线上质量的线密度是（单变量）指数密度（以每单位 长度的概率质量衡量）。更具体地说，线上的线密度是的密度，线上的线密度是$v=0$$v=1$$v=0$$U_2$$v=1$$U_1$。

谢尔顿，谢尔顿。你为什么要向我们这样的人问一个关于数学的问题？

在生存分析中，您的设置称为“竞争风险”。最早失效时间和失效类型的联合分布完全由所谓的“累积关联函数”描述（它甚至允许删失，即直到时间范围结束才出现失效）。我很确定您会 在竞争风险模型中的假设和陷阱中所述的文献中找到相关信息

你这里有一个混合模型，特别是指数的混合。如果我正确理解了您的问题设置，我相信您正在寻找的内容如下所示：

$$u \sim f(x) = \begin{cases} f_{Y_1}(x), & V=1 \\ f_{Y_2}(x), & V=0 \end{cases}$$

或者

$$u \sim f(x) = \theta f_{Y_1}(x) + (1-\theta)f_{Y_2}(x)$$

其中是生成的样本的预期比例（或使用您的公式，）。$\theta$$Y_1$$\theta = E[V]$

您可以通过实验确认这一点。这是一个具有任意选择的参数的混合模型r1,r2和theta：

n=1e5
theta=.2
v=rbinom(n,1,theta)
r1=5; r2=1
sample=v*rexp(n,r1) + (1-v)*rexp(n,r2)

f=function(x){theta*dexp(x,r1) + (1-theta)*dexp(x,r2)}

plot(density(sample), xlim=c(0,6))
xv=seq(from=0,to=6, length.out=1e4)
lines(xv,f(xv), col='red')