我是统计学的新手，我开始自己研究它，所以我想收到关于与转换中平坦区域相关的推理的建议。

对于由 ('X' 是随机变量，而 'x' 是结果) 给出的转换

$$\begin{equation} Y = \left\{ \begin{array}{llll} X-a\text{,}& x \gt a\\ 0\text{,}& -a \lt x \leq a\\ X+a\text{,}& x \leq -a \end{array}\right. \end{equation}$$

我使用的教科书给出了结果 CDF (F_Y)

$$\begin{equation} F_Y(y) = \left\{ \begin{array}{llll} F_x(y+a)\text{,}& y \gt 0\\ F_x(a)\text{,}& y = 0\\ F_x(y-a)\text{,}& y \lt 0 \end{array}\right. \end{equation}$$

对于 y = 0 的 CDF (F_Y)，以下推理是否正确？

对于y=0，我们得到

$$\begin{equation} F_Y(y) = P( Y \leq y ) \Rightarrow F_Y(0) = P(Y \leq 0) = P( Y \lt 0 ) + P( Y = 0 ) \end{equation}$$

根据给定的变换，在y = 0处存在非零概率质量浓度，由下式给出

$$\begin{equation} P( Y = 0 ) = P(-a\leq X \leq a) = P( X \leq a ) - P( X \lt -a ) \end{equation}$$

所以，

$$\begin{equation} \begin{array}{111} F_Y(y=0) = P( Y < 0 ) + P( X \leq a ) - P( X \lt -a ) \end{array} \end{equation}$$

同样根据变换，

$$\begin{equation} P( Y \lt 0 ) = P( X \lt - a ) \end{equation}$$

因此， 。

$$\begin{equation} F_Y(y = 0) = P( X \lt - a ) + P(X \leq a ) - P(X \lt -a ) = F_X(a) \end{equation}$$