在评估功率之前，我们必须明确测试是什么。

这个零假设$H_0:p=0$假设成功没有发生的机会。即使是一次成功的观察也将成为反对无效的令人信服的证据。但是如果没有成功怎么办（在$n$独立试验）是否被观察到？

对于水平测试$\alpha$根据定义，您需要少于$\alpha$当它为真时拒绝空值的机会。当 null 为真时，成功率为零。因此，当没有观察到成功时，测试可能仍会拒绝空值。 只是不允许这样做超过$100\alpha$从长远来看，百分之几的时间。

这些考虑表明，测试必须是以下之一：

• 当观察到一个或多个成功时，拒绝空值。

• 当没有观察到成功时，有机会随机拒绝空值$\gamma$不大于$\alpha$（“误报率”）。

这些测试由试验次数决定$n$和您的选择$\gamma.$ （请参阅本文末尾有关其含义的讨论。）

现在我们可以根据其定义计算功效：它是在替代假设下拒绝零的机会。备择假设对应于所有非零值$p$（成功概率）。在这种情况下，基本概率计算表明

• 观察一个或多个成功的机会$n$独立试验是$1 - (1-p)^n.$

• 观察到零成功然后随机拒绝空值的机会是$\gamma (1-p)^n.$

因此，拒绝空值的机会是

对于给定的$n$和$\gamma,$这些是$p$在区间$(0,1].$ 我绘制了一堆图表，以便您了解它们的行为：

在每个图中，黄色虚线在高度为$\gamma=0.20$黄色实线是对应的功率曲线。同样，绿色对应于$\gamma=0.05$和蓝色$\gamma=0.$

从公式中得出，并且在图中可以清楚地看出较大的值$\gamma$导致持续更高的功率，全面。 因此，在选择测试的通常平衡中，你会想要$\gamma$尽可能大，以符合您限制误报率的需要。那么显然你会选择$\gamma=\alpha.$

因此，鉴于您选择的测试规模$\alpha$和观察次数$n,$功率可以大到$1 - (1-\alpha)(1-p)^n$通过使用测试$\gamma=\alpha.$

注意$\gamma=0$意味着当没有观察到成功时，您的测试永远不会拒绝 null。所有其他值$\gamma$意味着您的决定是随机的：它不仅取决于观察结果，还取决于独立随机变量的结果（与观察结果无关）。有些人对使用随机测试感到不舒服。没关系，但他们将被迫使用此测试的最低功率版本（如蓝色曲线所示）。这值得深思。（我记得是杰克·基弗（Jack Kiefer）指出，许多拒绝使用随机测试的人仍然没有问题随机选择观察结果；-)。）