由于固定维度的充分性仅出现在指数族（Darmois-Pitman-Koopman 引理）中，除了具有不同支持的分布（如 Uniform），让我们考虑一个带参数的指数族$\theta$和密度[反对一个固定的主导措施]

$$f_\theta(x)=\exp\left\{\sum_{i=1}^k a_i(\theta) T_i(x) -\psi(\theta)\right\}$$ 假设函数$a_i$线性独立于最大支持$\theta$（即，范围$\theta$的密度是可积的），与该密度相关的模型可以重新参数化为$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)$在（至少）参数空间中变化 $$A=\left\{\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k);\,\exists\theta\in\Theta, \alpha_i=a_i(\theta) \right\}$$ 至少，因为参数空间可以自然地扩展到它的自然极限。 $$A=\left\{\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k);\,\displaystyle{\int \exp\left\{\sum_{i=1}^k \alpha_i T_i(x)\right\}\text{d}\lambda(x)}<\infty \right\}\,,$$ 并且函数$T_i$在支持上也是线性独立的$\cal X$的$X$, 统计量 $$T=(T_1(X),\ldots,T_k(X)$$ 足够且有密度 $$g_\alpha(t)=\exp\left\{\sum_{i=1}^k \alpha_i t_i-\mu(\alpha)\right\}$$ 反对适当的主导措施。因此，在指数族的自然空间（可能大于原始参数空间）上，充分统计量与参数具有相同的维度。尽管域的变化$T(x)$可以受到非线性关系的约束，存在一个样本大小，之后维度约束消失。

一种完全不同的方法，避免指数族，由

Edward W. Barrankin 和 Melvin Katz, Jr.
最小维度
Sankhyā 的充分统计：印度统计杂志卷。21，第 3/4 期（1959 年 8 月），第 217-246 页

他们显示以下结果

在哪里$r$是充分统计量的维数$T$和$\rho(x^0)$是对数似然的二阶导数的（局部）秩$\theta$和$x$[定义有点过于复杂，无法在此处复制]。