假设我们有一个有两个玩家的游戏。他们都知道从某个分布（非正态分布）中抽取了五个样本。他们都不知道用于生成数据的分布参数。游戏的目标是估计分布的均值。更接近真实均值的玩家赢得 1美元（估计值和实际值之间的绝对差值是目标函数）。如果分布的平均值达到，则猜大数的玩家获胜，而对于，猜小数的玩家获胜。
第一个玩家得到了所有五个样本，而第二个玩家只得到了样本的总和（他们知道其中有五个）。
有哪些不公平游戏且第一个玩家具有优势的分布示例？我猜正态分布不是其中之一，因为样本均值是真实均值的充分统计量。
注意：我在这里问了一个类似的问题：当方差未知时，对于正态分布，平均值不是一个足够的统计量？关于正态分布，有人建议我问一个新的非正态分布。
编辑：具有均匀分布的两个答案。如果人们知道的话，我很想听听更多的例子。
和之间的均匀分布，猜测样本均值的玩家会比猜测的玩家做得更差（样本最大值对于下界为 0 的均匀分布）。
在这种特殊情况下，可以通过数字进行验证。不失一般性，我们在模拟中事实证明，大约 2/3 的时间，3/5 max 估计器做得更好。
这是一个演示这一点的 Python 模拟。
import numpy as np
Ntrials = 1000000
xs = np.random.random((5,Ntrials))
sample_mean_error = np.abs(xs.mean(axis=0)-0.5)
better_estimator_error = np.abs(0.6*xs.max(axis=0)-0.5)
print((sample_mean_error > better_estimator_error).sum())
观测值的总和不足以估计均匀总体的平均值。中档对绝对误差的期望值较小。
通过 R 中的模拟进行近似：
set.seed(2021)
a = replicate(10^6, mean(runif(5)))
mr = replicate(10^6, mean(range(runif(5))))
mean(a); mean(mr)
[1] 0.5000905
[1] 0.5000926
mean(abs(a-.5)); mean(abs(mr-.5))
[1] 0.1040754
[1] 0.0833201
par(mfrow=c(2,1))
hdr1 = "UNIF(0,1): Simulated Dist'n of Mean of 5"
hist(a, prob=T, xlim=0:1, br=30, col="skyblue2", main=hdr1)
hdr2 = "UNIF(0,1): Sim. Dist'n of Midrange of 5"
hist(mr, prob=T, xlim=0:1, br=30, col="skyblue2", main=hdr2)
par(mfrow=c(1,1))
每个评论的注释：使用均方误差而不是绝对误差。此外，对于可比单位，RMSE。
mean((a-.5)^2); mean((mr-.5)^2)
[1] 0.01665874
[1] 0.01190478
sqrt(mean((a-.5)^2)); sqrt(mean((mr-.5)^2))
[1] 0.1290687
[1] 0.109109
值得补充的是，虽然您通常可以为低维参数族做得更好，但如果分布完全未知（或者除了知道它具有有限均值之外完全未知） ，您就不能做得更好。均值是唯一适用于所有分布的均值估计量。