让和成为你的两个向量，让和是两个原始向量均值的常数向量。样本相关性的组成部分是：$\boldsymbol{x}$$\boldsymbol{y}$$\boldsymbol{\bar{x}} \equiv \bar{x} \boldsymbol{1}$$\boldsymbol{\bar{y}} \equiv \bar{y} \boldsymbol{1}$

$$\begin{matrix} s_{x,y}^2 = (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\bar{x}}) \cdot (\boldsymbol{y} - \boldsymbol{\bar{y}}) & & s_x = ||\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\bar{x}}|| & & s_y = ||\boldsymbol{y} - \boldsymbol{\bar{y}}||. \end{matrix}$$

和之间的样本相关性 只是和之间角度的余弦。让这个角度为我们有：$\boldsymbol{x}$$\boldsymbol{y}$ $\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\bar{x}}$ $\boldsymbol{y} - \boldsymbol{\bar{y}}$$\theta$

$$\rho_{x,y} = \frac{(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\bar{x}}) \cdot (\boldsymbol{y} - \boldsymbol{\bar{y}})}{||\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\bar{x}}|| \cdot ||\boldsymbol{y} - \boldsymbol{\bar{y}}||} = \cos \theta.$$

由于任一向量的缩放等效地缩放协方差和标准差，这意味着相关性不受比例的影响。说低标准偏差给出高相关性是不正确的。对相关性重要的是向量之间的角度，而不是它们的长度。

的特殊情况下（即是一个常数向量）你有然后给出和。在这种情况下，相关性是未定义的。从几何上讲，这是因为零向量没有定义的角度。$\boldsymbol{y} \propto \boldsymbol{1}$$\boldsymbol{y}$$\boldsymbol{y} - \boldsymbol{\bar{y}} = \boldsymbol{0}$$s_{x,y}^2 = 0$$s_{y} = 0$