机器算法验证 - 是否有任何非高斯分布具有偏度 0 和峰度 3？ - 吾爱随笔录

是否有任何非高斯分布具有偏度 0 和峰度 3？

机器算法验证分布偏度峰度

2022-04-07 18:24:57

是否有任何非高斯分布具有偏度和峰度？谢谢！ $0$ $3$

4个回答

具有概率的离散分布具有与高斯相同的均值、方差、偏度和峰度。

\begin{aligned} p (- 2) & = 1 / 12 \\ p (- 1) & = 1 / 6 \\ p (0) & = 1 / 2 \\ p (1) & = 1 / 6 \\ p (2) & = 1 / 12 \end{aligned}

$\begin{align} p(-2)&=1/12\\ p(-1)&=\ 1/6\\ p(0)&=\ 1/2\\ p(1)&= \ 1/6\\ p(2)&=1/12 \end{align}$

请注意，就累积量，有我对OP问题的理解是除了满足。这是矩序列对应的汉克尔矩阵为 $\kappa_n$ $n\ge 1$

M e a n = κ_{1}

${\rm Mean}=\kappa_1$

V a r i a n c e = κ_{2}

${\rm Variance}=\kappa_2$

S k e w n e s s = \frac{κ_{3}}{κ_{2}^{\frac{3}{2}}}

${\rm Skewness}=\frac{\kappa_3}{\kappa_{2}^{\frac{3}{2}}}$

K u r t o s i s = 3 + \frac{κ_{4}}{κ_{2}^{2}}

${\rm Kurtosis}=3+\frac{\kappa_4}{\kappa_2^2}$

N (0, 1)

$N(0,1)$

κ_{1} = 0, κ_{2} = 1, κ_{3} = 0, κ_{4} = 0

$\kappa_1=0,\kappa_2=1,\kappa_3=0,\kappa_4=0$

(m_{0}, m_{1}, m_{2}, m_{3}, m_{4}) = (1, 0, 1, 0, 3) .

$(m_0,m_1,m_2,m_3,m_4)=(1,0,1,0,3)\ .$

H_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{array})

$H_2=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{array} \right)$ 它是非奇异的，因此对于一系列矩。这意味着有无限多的原子度量（具有个原子）具有高达四阶的矩作为标准高斯。所以OP问题的答案是肯定的。以上是Curto 和 Fialkow在 Houston J. Math 中得出的结果的一个特例。1991 年。康拉德·施穆德根 (Konrad Schmüdgen ) 的《瞬间问题》一书的第 9 章中有一个很好的说明。

3 = n + 1

$3=n+1$

(m_{0}, \dots m_{2 n})

$(m_0,\ldots m_{2n})$

n + 1

$n+1$

一个可能更有趣的问题是，在什么额外条件下答案会变为否，即具有唯一性。由于第四矩定理，我想到了固定维纳混沌。Newman 对满足 Lee-Yang 定理的 RV 有类似的结果，就像在铁磁自旋系统中一样（参见本文中的定理 3 ）。维度模型的平凡方法也使用四阶矩来显示高斯属性。 $\phi^4$ $\ge 4$

就在这里。拉普拉斯分布具有所需的属性。其概率密度函数由实线上 $(0,\frac{1}{2})$ $f(x)=\exp(-2\lvert x\rvert)$

与流行的看法相反，偏度和峰度是非唯一定义的概念。偏度和峰度有一般定义：

随机变量的凸变换

而基于第三和第四矩的定义只是其中之一。事实上，这些定义甚至没有针对所有分布进行定义，因为柯西分布是一个明显对称的分布，具有未定义的偏度和峰度。

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