如果两个向量是独立的，我们有$p(\textbf{X,Y})=p(\textbf{X})p(\textbf{Y})$. 考虑特定的一对$X_i$,$Y_j$,

$$\begin{align}p(X_i,Y_j) &=\int_{X_k,k\neq i}\int_{Y_m,m\neq j}P(\textbf{X},\textbf{Y})\\ &=\int_{X_k,k\neq i}\int_{Y_m,m\neq j}P(\textbf{X})P(\textbf{Y})\\ &=\int_{X_k,k\neq i}P(\textbf{X})\int_{Y_m,m\neq j}P(\textbf{Y}) \\ &=P(X_i)P(Y_j)\end{align}$$ 所以，它们是独立的，这意味着$\operatorname{cov}(X_i,Y_j)=0$. 但是，拥有$\operatorname{cov}(X_i,Y_j)=0$正如你所问的，并不意味着两者是独立的。

除了@gunes的答案，这里最好直接使用定义。两个随机变量（或向量，如本例所示）$\mathbf{X}, \mathbf{Y}$如果所有事件由$\mathbf{X}$独立于由确定的所有事件$\mathbf{Y}^\dagger$.

但是一个事件由$X_i$肯定（间接）由$\mathbf{X}$. 所以结论直接从定义中得出，不需要积分或求和。

$^\dagger$由决定的事件$\mathbf{X}$表示*成员$\sigma$- 代数由$\mathbf{X}$.