他们试图断言 [...] 如果有 10 个正面，那么序列中的下一个将更有可能是一个尾部，因为统计数据表明它最终会平衡

在非常特殊的意义上，只有一种“平衡”。

如果它是一个公平的硬币，那么每次投掷仍然是 50-50。硬币无法知道它的过去。它不知道有多余的人头。它无法弥补它的过去。曾经。它只是随机地成为正面或反面，并且不断有正面的机会。

如果是中正面的数量（是反面的数量），对于一个公平的硬币，将趋于 1，因为无穷......但是不会到 0。事实上，它也会到无穷大！$n_H$$n=n_H+n_T$$n_T$$n_H/n_T$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

也就是说，没有什么可以使它们更均匀。计数不倾向于“平衡”。平均而言，正面和反面数量之间的不平衡实际上会增加！

这是 100 组 1000 次抛掷的结果，灰色的痕迹显示了每一步正面数量减去反面数量的差异。

灰色轨迹（代表）是伯努利随机游走。如果您认为粒子在每个时间步上沿 y 轴向上或向下移动一个单位步长（以相等概率随机），那么粒子位置的分布将随着时间的推移从 0“扩散”。它的期望值仍然为 0，但它与 0 的期望距离随着时间步数的平方根而增长。[任何想“他是在谈论预期的绝对差还是 RMS 差”的人的注意事项 - 实际上是：对于大，第一个是是第二个的 80%。]$n_H-n_T$$n$$\sqrt{2/\pi}\approx$

上面的蓝色曲线在处，绿色曲线在处。如您所见，总正面和总反面之间的典型距离会增加。如果有任何东西可以“恢复平等”——“弥补”与平等的偏差——它们通常不会像那样拉得更远。（用代数方式证明这一点并不难，但我怀疑这会说服你的朋友。关键部分是独立随机变量之和的方差是方差之和见链接部分的末尾 ——每个成比例增长$\pm \sqrt{n}$$\pm 2\sqrt{n}$ $<$$>$$n$. 因此，标准偏差随着的增加而增加。在这种情况下，每一步添加到方差中的常数恰好是 1，但这对论证并不重要。）$\sqrt{n}$

等价地，确实会，但这仅仅是因为比做。$\frac{|n_H-n_T|}{n_H+n_T}$$0$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

这意味着如果我们在每一步将累积计数除以$n$，它就会弯曲 - 计数的典型绝对差为的数量级，但比例的典型绝对差必须为。$\sqrt{n}$$1/\sqrt{n}$

这就是正在发生的一切。越来越大的*随机偏差被更大的分母“冲走” 。

* 增加典型的绝对大小

看边缘的小动画，这里

如果你的朋友不服气，扔一些硬币。每次你说连续三个正面时，让他或她指定下一次抛正面的概率（小于 50%），他认为根据他的推理必须是公平的。要求他们给你相应的赔率（也就是说，如果你赌正面，他或她必须愿意支付多于 1:1 的赔率，因为他们坚持认为反面更有可能）。最好将其设置为每次少量投注的大量投注。（如果有什么借口可以解释为什么他们不能承担一半的赌注，请不要感到惊讶——但这至少似乎大大降低了持仓的激烈程度。）

[然而，所有这些讨论都是基于硬币的公平性。如果硬币不公平（50-50），则需要基于与预期比例差异的偏差进行不同版本的讨论。10 次投掷中有 10 个正面可能会让您怀疑 p=0.5 的假设。投掷得好的硬币应该接近公平加权或不接近公平加权 - 但实际上仍然表现出很小但可利用的偏见，特别是如果利用它的人是像 Persi Diaconis 这样的人。另一方面，旋转硬币可能很容易受到偏见的影响，因为一张脸的重量更大。]

混乱是因为他从一开始就在看概率，而没有看其他已经发生的事情。

让我们简化一下：

第一次翻转：

T

现在出现 T 的机会是 50%，所以是 0.5。

下一次翻转再次是 T 的机会是 0.5

TT 0.5
TF 0.5

但是，第一次翻转呢？如果我们包括它，那么：

TT 0.25
TF 0.25

剩余的 50% 以 F 开头，并且在 T 和 F 之间再次平均分配。

将其扩展到连续十个尾巴 - 你已经得到的概率是 1/1024。

下一个是 T 或 F 的概率是 50%。

所以从11 个尾巴开始的机会是 2048 年的 1。虽然已经翻转了 10 次尾巴，但下一次翻转也是尾巴的概率仍然是 50%。

他们正试图将 1024 中 10T 的可能性中 1 的可能性应用到另一个 T 的可能性上，而事实上这已经发生了，所以它发生的概率不再重要。

连续出现 11 条尾巴的可能性不超过 10 条尾巴后跟一个头的可能性。

11 次翻转都是反面的可能性不大，但既然已经发生了，那就不再重要了！

下一次翻转将是反面的几率仍然是 50-50。

很简单的解释：按顺序翻转10个正面+1个反面的几率非常低。但是，当您掷出 10 次正面时，您已经战胜了大部分可能性……您有 50-50 的机会在下一次掷硬币时完成序列。

您应该尝试说服他们，如果之前的结果会影响即将进行的投掷，那么不仅应该考虑最后 10 次投掷，而且还应该考虑到硬币寿命中的每一次投掷。

我认为这是一种更合乎逻辑的方法。