$dF(x) = f(x)dx$当随机变量的概率测度（或等效的 CDF，）相对于 Lebesgue 测度绝对连续时为真。这意味着对于所有 Lebesgue 测度为零的集合，该测度也将测度分配为 0。您可以认为这意味着 Lebesgue 测度和分布测度是同一空间的测度。分布关于 Lebesgue 测度的“导数” ：$F(x)$$X$

$$\begin{align} \frac{dF(x)}{dx} = f(x) \end{align}$$

其中是概率密度函数。我们也可以将其视为度量的变化，概率分布度量和 Lebesque 度量的重新加权。一般来说，这是氡-nikodym衍生物的一个例子。$f(x)$

那么为什么要引入所有这些机制和符号来回到 pdf 呢？

真正的魔力在于与 Lebesgue 测度不是绝对连续的。例如，假设我们有一个离散随机变量。离散随机变量不能具有与 Lebesgue 绝对连续的概率测度，因为它们明确地为某些可数集提供了正测度。$F(x)$

在离散情况下，我们采用 radon-nikodym 来表示计数度量，并且这种情况下的积分简化如下：

$$\begin{align} E[g(X)] = \int g(x)dF(x) = \sum_{x\in \mathcal{X}} g(x)P(X=x) \end{align}$$

其中是离散随机变量的支持度。在基本统计和概率书籍中，离散和连续随机变量通常完全分开呈现。本质上，我们定义了关于计数度量的 radon-nikodym 导数，给它一个特殊的名称 (pmf)，然后讨论我们如何构建关于这些 pmfs 的感兴趣的积分。然后我们重新定义连续变量 (pdf) 的 radon-nikodym 导数，并重新引入与 pdf 相关的所有相同概念。$\mathcal{X}$$X$

测度理论框架允许我们将概念概括为包括连续和离散随机变量（以及不属于任何一个类别的变量），并引入一个标准符号，该符号不会强迫我们做出不重要的区分到潜在的概率论，促进概念之间的联系。成本显然是对测度理论的投资，这对于所有对学习统计数据和概率感兴趣的人来说可能并不可行。

首先对问题进行更正：当写 这些量不是统计数据，而是数据分布的函数。例如，是的平均值。因此泛函是广义矩。（下面是我的第二点统计数据。） 至于的使用，这是测度论中的通用符号，Tyrel Stokes 的回答非常好。

$$T_1(F) = \int x\text d F \qquad \text{or} \qquad T_2(F) = \int (x-T_1(F))^2\,\text d F$$ $T_1(F)=\mathbb E [X]$$F$$\text D F$

关于统计，符号的动机是引导方法的核心：在估计 时，当是基于观察到的样本的经验分布时，使用由于该经验分布具有有限支持，因此它不享受 pdf wrt Lebesgue 测量，但在观察样本定义的集合上具有 pmf。原因是，由于是的收敛近似（根据 Glivenko-Cantelli 定理），因此同样适用于。$T(F)$$T(\hat F_n)$$\hat F_n$$\hat F_n$$F$$T(\hat F_n)$