对于独立，一个显着的结果是和也是独立的。此外， ,。例如，参见第 25 章，第 25 节。Johnson、Kotz 和 Balakrishnan 的 连续单变量分布的第 2 卷，第 2 卷中的一些详细信息。$a, d\sim\operatorname{\Gamma}(M,c)$$U=a+d$$V=a/(a+d)$$U\sim\operatorname{\Gamma}(2M, c)$$V\sim\mathrm{B}(M,M)$

现在这说是独立 Gamma 和 Beta 随机变量之间的比率。Nadarajah 和 Kotz 的关于 Gamma 和 Beta 随机变量的乘积和比率以及 Nadarajah 的Gamma Beta 比率分布已经彻底讨论了这个分布。

$$Y=\frac{a}{(a+d)^2}=\frac{1}{a+d}\frac{a}{a+d}=\frac{V}{U}$$

编辑：使用上述文章中给出的 CDF 和 PDF，我们可以推导出（用 Wolfram Alpha 简化）的 CDF ：和 PDF为：其中和是广义超几何函数。这些表达式与@wolfies 的结果一致。$Y$

$$F_Y(y) = 1-\frac{\Gamma(3M)}{2(cy)^{2M}\Gamma(M+1)\Gamma(4M)}{}_2F_2\left(2M, 3M; 2M+1,4M; -\frac{1}{cy}\right),$$ $Y$ $$f_Y(y)=\frac{\Gamma(3M)}{y(cy)^{2M}\Gamma(M)\Gamma(4M)}{}_1F_1\left(3M; 4M; -\frac{1}{cy}\right)$$ ${}_1F_1$${}_2F_2$

Francis 提供了最终的优雅解决方案。按照他漂亮的方法，似乎可以为 pdf 生成一种更简单的形式。

特别是，按照弗朗西斯的优雅解决方案，让与 pdf：$V \sim \text{Beta}(m,m)$$f(v)$

.. 并让其中独立于，并让，因此与 pdf :$U \sim \text{Gamma}(2m, c)$$U$$V$$Z = \frac1U$$Z \sim \text{InverseGamma}(2m,c)$$g(z)$

然后可以通过以下方式找到所需的 pdf ，例如：$Y = \frac{V}{U} = V Z$$h(y)$

我正在使用MathStatica包中的TransformProduct函数来实现Mathematica的自动化。

那么它有效吗？

这是一个快速的蒙特卡洛检查：

• 的模拟pdf （从和生成）（蓝色波浪形）$Y = \frac{A}{(A+D)^2}$$A$$D$

• 与上面得出的精确理论 pdf（红色虚线）相比：$h(y)$

当参数和时。看起来不错。$m = 4$$c=3.01$