考虑尺度参数等于的拉普拉斯分布。可以计算出 MAD 等于，方差等于。$1$$1$$2$

的正态分布。可以计算 MAD 为$1.9$

$$\sqrt{\frac{1.9 \cdot 2}{\pi}} = \sqrt{\frac{3.8}{\pi}} > \sqrt{\frac{3.8}{3.2}} > 1,$$

使用。像这样，$0 < \pi < 3.2$

• 方差小于我们的拉普拉斯分布，但是
• MAD 更大。

考虑一个离散随机变量，对于某些常数和，它采用以下值：$Y$$M\in\mathbb{R}$$\epsilon\in [0, 1]$

$$Y = \left\{\begin{array} ~-M+\mu_Y & \text{w.p.}~\epsilon/2 \\ \mu_Y & \text{w.p.}~1-\epsilon \\ M+\mu_Y & \text{w.p.}~\epsilon/2\end{array}\right.$$

简单的计算表明具有所需的平均值、和。取和，我们有$Y$$\mu_Y$$Var(Y) = M^2\epsilon$$E[|Y-\mu_Y|] = M\epsilon$$M = \epsilon^{-0.75}$$\epsilon\rightarrow 0$$Var(Y)\rightarrow\infty$和$E[|Y-\mu_Y|]\rightarrow 0$. 所以通过选择足够小的$\epsilon$，我们可以得到一个$Y$具有所需的平均值，任意大$Var(Y)$，并且任意小$[|Y-\mu_Y|]$. 例如，与$\epsilon=10^{-12}$和$M = 10^9$， 我们有$Var(Y) = 10^6$和$E[|Y-\mu_Y|] = 0.001$.

所以现在我们有很多选择$X$这将导致期望的不平等保持不变。一个例子是，具有均值的正态分布$\mu_X$和方差 1。