机器算法验证 - 为什么二项分布的方差不是n2p ( 1 - p )n2p(1−p)? - 吾爱随笔录

为什么二项分布的方差不是n2p ( 1 - p )n2p(1−p)?

机器算法验证方差二项分布伯努利分布

2022-04-19 02:47:44

使用方差属性，我们知道是。 $Var(aX)$ $a^2Var(X)$

二项分布有 n 次伯努利试验，即我们可以用（其中是二项式变量，是伯努利试验），使用上述属性，我们可以得到 . $Var(X)$ $Var(nB)$ $X$ $B$ $n^2Var(B)$

但是，这会给我们一个而不是的结果，这是二项分布的假设方差。 $n^2p(1-p)$ $np(1-p)$

我采用的方法中的数学错误在哪里？

2个回答

可能值得将二项式检查为 $n$ iid 伯努利试验。让 $X_i$ be iid bernoulli 平局。 $Y = \sum_i X_i$ 是一个二项式随机变量。这个的方差是

Var (Y) = Var (\sum_{i} X_{i}) = \sum_{i} Var (X_{i})

$\operatorname{Var}(Y) = \operatorname{Var}(\sum_i X_i) = \sum_i \operatorname{Var}(X_i)$

我使用了方差添加的属性，如果协方差为 0（假设为真）。对于给定的伯努利随机变量 $\operatorname{Var}(X_i) = p(1-p)$ . 由于所有 $X_i$ 是相同的，

Var (Y) = \sum_{i} p (1 - p) = n p (1 - p)

$\operatorname{Var}(Y) = \sum_i p(1-p) = n p (1-p)$

您的解决方案的问题在于这一步。 $Var(X) = Var(nB)$

因为 $X \neq nB$

我的意思是，因为所有都是或，而 X 是在 n 条路径中的数量。但是你不能称它为因为所有都没有相同的值。其中一些是，一些是。时，您的想法才成立。 $X = B_1 + B_2 + ... +B_n$ $B_i$ $0$ $1$ $1$ $nB$ $B$ $0$ $1$ $B_1 = B_2 = ... = B_n = B$

但是如果你真的想用伯努利的轨迹来表达二项分布，你可以这样做。

X = B_{1} + B_{2} + . . . + B_{n}

$X = B_1 + B_2 + ... +B_n$

V a r (X) = V a r (\sum_{i = 1}^{n} B_{i})

$Var(X) = Var(\sum_{i=1}^n{B_i})$ 您可以得出总和，因为根据二项分布的定义，每条轨迹都独立于其他小径。所以就好像他们都是独立的。现在你可以写成因为所有的不管有相同的值。

V a r (X) = \sum_{i = 1}^{n} V a r (B_{i})

$Var(X) = \sum_{i=1}^n{Var(B_i)}$

V a r (X) = \sum_{i = 1}^{n} p q

$Var(X) = \sum_{i=1}^n{pq}$

n p q

$npq$

p q

$pq$

i

$i$

p (1 - p)

$p(1-p)$

V a r (X) = n p q

$Var(X) = npq$

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