理解均匀分布的成功概率

机器算法验证 可能性 贝叶斯 均匀分布
2022-03-28 02:46:53

我目前正在阅读一篇理论经济学论文,他们使用了一个我不太理解的例子。我希望你们能帮助我🙂

以下摘录是我不太明白的例子,我如何获得最后的概率?有人能告诉我怎么去那里吗?

投资者正在根据企业家过去的成功和失败历史来决定是否投资企业家的新创业公司。这位企业家的前两次创业失败了,最后三个成功了。投资者的问题是预测第六次创业的成功概率。投资者的先验是创业公司的成功概率 θ 均匀分布在 [0, 1] 上。假设在没有说服力的情况下,投资者会采用默认观点,即相同的成功概率支配着企业家的所有创业公司。出于示例的目的,还假设这是真实模型。说服者希望投资者进行投资,因此希望提出最大化投资者对 θ 的后验期望的模型。接收者将接受模型表明企业家的成功概率在某个点从 [0, 1] 上的均匀分布中重新绘制,因此只有最近的初创公司与估计 θ 相关。假设这些是接收者会接受的唯一模型,说服者将提出企业家的最后三个创业公司相关的模型,但前两个不相关。在成功概率随时间恒定的默认模型下,接收方预测下一次启动的成功概率为 57%。在说服者提出的模型下,接收者反而预测它是 80%。假设这些是接收者会接受的唯一模型,说服者将提出企业家的最后三个创业公司相关的模型,但前两个不相关。在成功概率随时间恒定的默认模型下,接收方预测下一次启动的成功概率为 57%。在说服者提出的模型下,接收者反而预测它是 80%。假设这些是接收者会接受的唯一模型,说服者将提出企业家的最后三个创业公司相关的模型,但前两个不相关。在成功概率随时间恒定的默认模型下,接收方预测下一次启动的成功概率为 57%。在说服者提出的模型下,接收者反而预测它是 80%。

这个例子来自论文“Using Models to Persuade”(Schwartzstein and Sunderam, 2021, AER)

提前致谢!

1个回答

这是标准介绍性贝叶斯示例的直接应用,即 beta 先验是伯努利抽样分布的共轭。任何介绍性的贝叶斯统计教科书都会详细解释这一点。

简而言之,这个想法是,如果您在参数上的先验分布是θB(α,β), 你观察n具有成功概率的伯努利试验θx成功(和nx失败),然后你的后验分布在θB(α+x,β+nx). (后验仍然是 Beta 的事实是这个“共轭”的原因。)

在本例中,您的先验是一致的[0,1],这只是 Beta 的一个特例,即B(1,1).

  • 在“默认”模型中,我们观察到3成功和2失败,所以后验是B(1+3,1+2)=B(4,3). 这个 Beta 分布的期望44+357%.
  • 在“提议的”模型中,我们丢弃了两个失败,只考虑3成功。现在后面是B(1+3,1)=B(4,1), 期望44+1=80%.