我假设你已经知道的特征值$B$. 自从$B$是对称正半定的，可以分解为

$$B = U D U^T$$ 在哪里$U$是一个正交矩阵并且$D$是非负特征值的对角线（其中一些可能正好为零）。

现在

$$B+xI = U D U^T + x U U^T = U (D + x I) U^T$$ 并且由于矩阵的行列式是其特征值的乘积，并且行列式分布在矩阵乘积上，则 $$|B+xI| = |D+xI| = \prod_n (d_n + x)$$ 在哪里$d_n$是个$n$的对角线条目$D$.

我第二个@cardinal的回答，但提供一个简单的技巧：如果$p(z)$是多项式（具有整数幂），并且$\mathbf{v}, \lambda$是矩阵的特征向量和对应的特征值$M$， 然后$\mathbf{v}, p(\lambda)$是特征向量和对应的特征值$p(M)$. 证明是一个简单的练习。多项式$p$可能包含负面权力$z$和一个常数项，在这种情况下$p(M)$对应于将常数乘以单位矩阵。

由于行列式是特征值的乘积，所以行列式$A = p(B)$， 在哪里$p(z) = z^1 + x$是产品$\prod_i \left(\lambda_i + x\right)$， 在哪里$\lambda_i$是的特征值$B$. 您还可以使用此技巧找到$p(B)$，当然，但它是矫枉过正！

这个多项式技巧是数值分析中的经典，例如，用于证明 Gauss-Seidel 方法的收敛性。请参阅 Cheney & Kincaid，或我对涉及此技巧的另一个问题的回答。