多模态似然函数可以有两个值完全相同的模态。在这种情况下，MLE 可能不是唯一的，因为可能有两个可能的估计量可以通过使用方程来构造。$\partial l(\theta; x) /\partial \theta = 0$

来自维基百科的这种可能性的例子：

在这里，看到没有使可能性最大化的Wikipedia 链接还提供了一些关于存在独特且一致的 MLE的条件，尽管我相信还有更多（更全面的文献搜索会很好地指导您）。$\theta$

编辑：这个关于 MLEs 的链接，我相信是剑桥的讲义，列出了 MLE 存在的更多规律性条件。

您可以在这个CV question中找到不一致的 ML 估计器的示例。

一个例子来自等级不足。假设您正在执行 OLS 回归，但您的设计矩阵不是满秩的。在这种情况下，有任意数量的解获得最大似然值。这个问题不是 OLS 回归所独有的，但 OLS 回归是一个足够简单的例子。

另一种情况出现在二元逻辑回归的 MLE 中。假设回归显示分离; 在这种情况下，似然没有明确定义的最大值，因为任意大的系数单调地增加似然。

在这两种情况下，常见的正则化方法（如岭惩罚）都可以解决问题。

MLE 估计器非唯一性的另一个示例：

要通过 ML 估计拉普拉斯分布的位置参数，您需要一个值，使得： $\mu$$\hat{\mu}$

也就是说，估计使得低于和高于的观察数相等。$\hat{\mu}$$\hat{\mu}$

显然，对于偶数，解决方案将不是唯一的，除非两个中心观测值（按升序排列）相同。$n > 1$

为了简单起见，通常我们选择作为估计值（样本中位数），因为它满足要求的条件并且是一个众所周知的统计量，但它可能不是独特的答案。$\hat{\mu} = \overset{\sim}{x}$

当您使用可能不会收敛的数值算法时，这很麻烦，因为没有一个答案。

另一个表明 ML Estimator 并不总是唯一的简单示例是模型$U(\theta, \theta +1)^n$. 如果您的样品是$(x_1, ..., x_n)$可能性$f(x_1,...x_n|\theta)$如果这个样本是 1$x_i \in [\theta, \theta +1] \forall i=1...n$和$0$否则。