在评论中回答：使用期望的线性立即回答第一个问题。第二个结论仅在基础分布具有有限方差时才成立，在这种情况下，它遵循简单的方差计算。– 呼呼

第二个结论甚至在没有假设有限方差的情况下得出，因为你假设了平均值$\mu$存在。强大的大数定律然后给出结果，它可以在不假设有限方差的情况下被证明。

一种情况$\hat \mu$可能是有偏估计$\mu$: 样本$x_1,..., x_n$不是从感兴趣的总体中均匀随机抽样的。这确实是两个问题：

(1) 总体中的某些值比其他值更有可能被抽样。一个典型的例子是当我们查看自愿民意调查时。似乎很有可能意见强烈的人比漠不关心的人更有可能完成调查。

(2) 我们有样本，但它们不是来自感兴趣的人群。这在某种程度上似乎是一种逃避，但在实践中这是非常普遍的。例如，当我们在选举前查看民意调查时，感兴趣的人群是选举之夜的实际投票。显然，在选举之前不可能获得任何这些样本，因此我们查看具有我们假设/希望分布接近我们关心的真实分布并且可以抽样的人口：选举前进行的民意调查。 ..然后我们也希望从中得到一个统一的随机样本人口，或者我们使用方法来尝试重新平衡由于各种群体的过度/不足代表而导致的估计量。我们也可能会尝试随着时间的推移调整人群意见的潜在变化，以解释我们没有来自感兴趣人群的样本这一事实，但可能能够模拟感兴趣人群和我们可以抽样的人群。

我怀疑这可能不是您正在寻找的答案类型：即，我认为 OP 可能对这种情况感到好奇$x_i$从正确的分布中均匀抽样，但估计量可能不一致（如前所述，如果方差未定义，可能会发生这种情况）。我提出了这个答案，因为我认为它在实践中是一个更常见的问题，并且在应用分析期间通常应该更仔细地考虑。