也许我错过了一些东西，但这个问题似乎比起初看起来更容易。这不是变量问题的变化（这会很混乱），而只是随着规模的变化而改变标签。是一个索引，而不是一个随机变量。$t$

如果索引集中变量的每个随机子集都具有多元高斯分布，则过程是高斯的。的变量集合。它们是联合布朗（以尺度变化为模），因此联合多元正态。$t_1,t_2, \ldots, t_k$

布朗过程中的每个随机变量均值为 0，因此此处定义的过程处处均值为 0。

现在，到协方差函数。我们先来看看方差。调用新进程。$X(t)$

处的布朗方差方差为。的方差是，即 1。很明显，这就是比例因子的意义所在。$t$$t$$X(t)$$e^{-2\alpha t} e^{2 \alpha t}$

和处布朗的协方差是，所以和的协方差将是$t$$s$$\text{min}(s,t)$$X(t)$$X(s)$

$e^{-\alpha(s+t)} \text{min}(e^{2\alpha t}, e^{2 \alpha s})$。

因此，如果，协方差将为。这有点酷。$s < t$$e^{- \alpha (t-s)}$

证明与证明 bm 是高斯过程的方式非常相似。

我在证明结束时没有说的是，请注意，通过 BM 的平稳独立增量属性，我标记为正态的括号中的增量是独立正态分布，因此独立正态分布的线性组合也是正态的，这证明和的任何选择都是高斯的$\sum a_i X_{t_i}$$a_i$$t_i$