机器算法验证 - Sobol 指数和 Sobol 总指数之间的区别？ - 吾爱随笔录

Sobol 指数和 Sobol 总指数之间的区别？

机器算法验证造型敏感性分析

2022-04-05 07:46:47

给定一个数学模型 $Y\widetilde Y(X_i)$ ，在哪里 $X_i=x_i^*$ 表示输入变量的特定点估计 $X_i$ . 在敏感性分析中，Sobol 指数解释了输入因素的重要性 $X_i$ 关于输出的方差 $Y$ 这样：

S_{i} = \frac{V_{X_{x \sim i}} (E_{X_{i}} (Y | X_{i} = x_{i}^{*}))}{V (Y)}, 0 \leq S_{i} \leq 1

$\begin{equation} S_i=\displaystyle \dfrac{V_{X_{x \sim i}}(E_{X_i}(Y|X_i=x_i^*))}{V(Y)},\quad 0 \leq S_i \leq 1 \end{equation}$

这表示期望的方差 $X$ 在红框中的总方差 $Y$ .

在此处输入图像描述

此 Wikipedia 条目似乎给出了总 Sobol 指数：

S_{T i} = 1 - \frac{V_{X_{x \sim i}} (E_{X_{i}} (Y | X_{i} = x_{i}^{*}))}{V (Y)}

$S_{Ti}=\displaystyle 1-\dfrac{V_{X_{x \sim i}}(E_{X_i}(Y|X_i=x_i^*))}{V(Y)}$

但它们的真正含义是什么？我不相信。

1个回答

Sobol 总指数之所以有趣，是因为interactions. 两个输入 $x_1$ 和 $x_2$ 当它们对输出的联合影响不同于它们各自影响的总和时，它们是相互作用的。例如考虑以下模型

f (x) = x_{1} . x_{2}

$f(\mathbf{x}) = x_1 . x_2$

可以通过计算高阶 Sobol' 指数（即变量组的 Sobol' 指数）来测量交互作用。这些可以通过两种方式定义，取决于是否计算子组的交互。这种方法的问题在于，Sobol' 指数的数量随着输入的数量呈几何级数增长，因此计算它们很快变得难以处理。总 Sobol 指数是一个可行的替代方案：给定输入的总指数 $x_i$ 表示包含所有变量组的效果 $x_i$ . 因此，总指数与一阶指数之差 $x_i$ 是交互的数量 $x_i$ 有助于。

请注意，与一阶索引不同，总索引的总和可以超过一个。当没有交互时获得相等性。

为了更深入地理解，请查看 Saltelli 和同事的论文，了解冻结变量时方差降低的解释，以及 Sobol 的开创性论文，了解 ANOVA 分解的解释，也称为 HDMR，Sobol'或 Hoefding 分解（2001 年的分解非常清晰简洁，但如果您不熟悉该领域，可能需要阅读一些内容）。两种方法各有千秋，相辅相成，有助于深入理解敏感性指数的含义。

关于总 Sobol' 指数的估计，可以在 [1] 中找到对现代基于方差的估计器的回顾。

-- 提醒 -- 一阶 Sobol' 指数是

给定输入值的输出条件期望的方差，由总方差归一化。

Sobol 总指数为

给定除输入之外的所有值的条件期望方差的互补，由总方差归一化。

由于总方差定理，这等于

给定除输入之外的所有值的输出的条件方差的期望值，由总方差归一化。

[1] Andrea Saltelli、Paola Annoni、Ivano Azzini、Francesca Campolongo、Marco Ratto、Stefano Tarantola，基于方差的模型输出敏感性分析。总灵敏度指数的设计和估算器，计算机物理通信，第 181 卷，第 2 期，2010 年 2 月，第 259-270 页，ISSN 0010-4655，http://dx.doi.org/10.1016/j.cpc.2009.09。 018 . （http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0010465509003087）

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