机器算法验证 - 八阶矩 - 吾爱随笔录

机器算法验证分布数理统计时刻

2022-04-13 08:15:19

我阅读了 Lee 和 Verleysen [ Google Books ] 的非线性降维，发现了以下定理（第 8 页）：

让 $\mathbf{y}$ 做一个 $D$ 维向量 $[y_1, \ldots, y_d, \ldots,y_D]'$ ; 所有组件 $y_d$ 向量的 iid 具有有限的八阶矩。

谁能解释一下作者所说的“有限八阶时刻”是什么意思？

1个回答

通过定理上的语言，他显然指的是随机 $D$ 维向量。这意味着每个 $y_d$ 是一个随机变量；为了符号的缘故，我们将其表示为 $Y_d$ （我真的很讨厌作者不做区分）。话虽如此， $n$ -关于的阶矩 $x_0$ 的 $Y_d$ 定义为：

E [(Y_{d} - x_{0})^{n}] = \int (y_{d} - x_{0})^{n} f_{Y_{d}} (y_{d}) d y_{d},

$\mathbb{E}[(Y_d-x_0)^n]=\int(y_d-x_0)^nf_{Y_d}(y_d)dy_d,$ 在哪里

f_{Y_{d}} (y_{d})

$f_{Y_d}(y_d)$ 是随机变量的概率密度函数

Y_{d}

$Y_d$ . 具有有限的八阶矩意味着

E [(Y_{d} - x_{0})^{8}] = \int (y_{d} - x_{0})^{8} f_{Y_{d}} (y_{d}) d y_{d} < \infty,

$\mathbb{E}[(Y_d-x_0)^8]=\int(y_d-x_0)^8f_{Y_d}(y_d)dy_d<\infty,$ 对于一些

x_{0}

$x_0$ . 然而，通常定义

n

$n$ - 阶矩作为约的时刻

x_{0} = E [Y_{d}]

$x_0=\mathbb{E}[Y_d]$ ，并假设零均值随机变量，即假设

E [Y_{d}] = 0

$\mathbb{E}[Y_d]=0$ 这意味着作者的意思是

E [Y_{d}^{8}] = \int y_{d}^{8} f_{Y_{d}} (y_{d}) d y_{d} < \infty .

$\mathbb{E}[Y_d^8]=\int y_d^8f_{Y_d}(y_d)dy_d<\infty.$

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