扑克玩家使用这种创建随机排列的方法来估计他们在锦标赛中的期望值，该锦标赛为低于第一名的位置支付奖金。它被称为独立芯片模型或ICM。尽管您可以比简单的求和做得更好，但概率并没有简化那么多。我将给出几种不同的方式来描述这种随机排列。

• 按比例选择获胜者。淘汰该玩家，重新调整概率，然后按比例选择第二名的终结者。重复直到所有位置都被分配。

• 每个玩家有一些整数比例的筹码$p_1 : p_2 : ... :p_k$. 一次随机淘汰一个筹码，使每个筹码都有平等的机会被淘汰。当玩家的最后一个筹码被淘汰时，该玩家被淘汰。球员被淘汰的顺序相反。

我认为这些在排列上产生相同的分布并不明显。第二个要求概率之间有合理的比率，很明显筹码数量增加一倍不会改变分布？然而，第三种描述将两者联系起来。

• 每个玩家有一些整数比例的筹码$p_1 : p_2 : ... :p_k$. 洗牌。按玩家的最高筹码对玩家进行排序。如果你从底部一个一个地显示筹码，你会得到第二种方法。如果您从顶部显示筹码，您将获得第一个。

无论如何，根据 ICM，有一些关于股票的已知结果。例如，我证明了如果奖金不增加，那么胜率是凹的，所以玩家应该在单挑底池中规避风险。此外，还有一些 ICM 计算器，例如我的程序ICM Explorer，您可以下载并使用它来计算最多$10$玩家。

我没有考虑太多关于您的特定问题，但我认为第二个描述，消除筹码将玩家淘汰，可能会有所帮助。我确实查看了最后完成的概率，或者$k=1$, 对于某些特殊情况。

如果您提出的问题是您唯一关心的问题，则这可能没有直接关系。但是，如果您实际上需要创建一个不等概率样本，并且您只要求提供您正在努力解决的过程的一小部分技术部分，那么这里有一些更广泛的背景。

不等概率的不替换抽样是一个非常混乱的过程。Brewer 和 Hanif (1982)概述了大约 50 种算法来连续执行几个单元的采样，以使最终选择概率与目标匹配$p_1 \ge p_2 \ge \ldots$-- 简单地重新调整概率是不行的，而且“概率”的总和不等于 1，因为你发现了困难的方法。作为该工作领域的一项重大创新，下半年有论文在 1990 年代（Tille 1996，Deville 和 Tille 1998）提出了可以说比 Brewer 描述的程序更简单的消除和样本​​拆分程序。