详细说明 Martin 的答案，您将需要比较一般 AR(p) 情况下的系数。

首先，使用以紧凑的滞后算子表示法编写 AR(p) 过程。$\rho(L)=1-\rho_1L-\ldots-\rho_pL^p$

我们从和过程中得到$\rho(L)Y_t=\epsilon_t$$MA(\infty)$$Y_t=\psi(L)\epsilon_{t}$

$$\rho(L)Y_t=\rho(L)\psi(L)\epsilon_t=\epsilon_t$$ 因此，。现在，当且仅当每个幂的系数相同时，两个多项式和 1（后者的 0 阶）是相同的。$\rho(L)\psi(L)=1$$\rho(L)\psi(L)$

的示例：$AR(2)$

我们得到 的匹配幂产生

$$(1-\rho_1L-\rho_2L^2)(\psi_0+\psi_1L+\psi_2L^2+\psi_3L^3+\ldots)=1$$ $L$ $$\begin{align*} \psi_0&=1\\ \psi_1-\rho_1\psi_0&=0\Rightarrow\psi_1=\rho_1\\ -\rho_2\psi_0-\rho_1\psi_1+\psi_2&=0\Rightarrow\psi_2=\rho_2+\rho_1^2\\ \ldots& \end{align*}$$

不确定你的方程是否正确。我猜你的意思是

$$y_t = \rho_1 y_{t-1} + \dots + \rho_p y_{t-p} + \epsilon_t$$

在 AR(1) 过程的情况下，您必须通过重新插入过去的观察 where将其转换为 MA( )（或“协方差平稳”）表示：$\infty$$y_{t-j}$$j=1,\dots,\infty$

$$y_t = c + \rho_1 y_{t-1} + \epsilon_t .$$

随着它遵循$y_{t-1} = c + \rho_1 y_{t-2} + \epsilon_{t-1}$

$$y_t = c + \rho_1 (c + \rho_1 y_{t-2} + \epsilon_{t-1}) + \epsilon_t.$$

如果你无限地这样做，你最终会得到

$$y_t = \frac{c}{1-\rho} + \sum_{j=0}^{\infty} \psi_j \epsilon_{t-j} \quad \text{with} \quad \psi_j = \rho^j$$ 其中我们使用了和的条件。$\sum_{j=0}^{\infty}\rho^j c = \frac{c}{1-\rho}$$\rho < 1$

impsule-responses 现在可以通过

$$\frac{\partial y_{t+j}}{\partial \epsilon_t} = \psi_j.$$

对于高阶 AR(p) 过程，您基本上必须这样做。在那里，您可以通过“比较系数”来计算过程具有协方差平稳表示的一个重要条件是它的根都位于单位圆之外（这就是我们假设的原因）。$\psi_j$$AR(p)$$\rho < 1$

我希望这些基本信息对您有所帮助...