机器算法验证 - 选择有偏见的硬币的概率 - 吾爱随笔录

选择有偏见的硬币的概率

机器算法验证可能性自习条件概率

2022-04-03 12:21:21

假设你有一袋 100 枚硬币，其中 1 枚硬币正面朝上。你从袋子里取出一枚硬币，扔了三下。所有三轮投掷的结果都是正面。选择的硬币有偏差的概率是多少？

我的答案：-

P(selecting a biased coin) = 1/100
P(getting a head thrice with the biased coin) = 1

P(selecting an unbiased coin) = 99/100
P(getting a head thrice with the unbiased coin) = 1/8

P(selecting a biased coin|coin toss resulted in 3 heads) = 
          P(selecting a biased coin and getting heads thrice)/
          [P(selecting a biased coin and getting heads thrice) +
           P(selecting an unbiased coin and getting heads thrice)] 

= (1/100)/[(1/100) + (99/800)]
= (1/100)/(107/800)
= 8/107
= 0.0747

这个对吗？谢谢。

3个回答

你的回答是对的。可以使用贝叶斯定理得出解决方案：

$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

您想知道的概率。 $P(\text{biased coin}|\text{three heads})$

我们知道什么？

有硬币。是公平的，是偏向双方为首的。 $100$ $99$ $1$

使用公平的硬币，三个正面的概率是。 $0.5^3 = 1/8$

选择有偏硬币的概率：。 $P(\text{biased coin}) = 1/100$

所有三个抛掷的概率都是正面：。 $P(\text{three heads}) = \frac{1 \times 1+ 99 \times \frac{1}{8}}{100}$

给定有偏硬币的三个正面的概率是微不足道的：。 $P(\text{three heads}|\text{biased coin}) = 1$

如果我们使用上面的贝叶斯定理，我们可以计算

P (biased coin | three heads) = \frac{1 \times 1 / 100}{\frac{1 + 99 \times \frac{1}{8}}{100}} = \frac{1}{1 + 99 \times \frac{1}{8}} = \frac{8}{107} \approx 0.07476636

$P(\text{biased coin}|\text{three heads}) = \frac{1 \times 1/100}{\frac{1 + 99 \times \frac{1}{8}}{100}} = \frac{1}{1 + 99 \times \frac{1}{8}} = \frac{8}{107} \approx 0.07476636$

这是一篇描述与此非常相似的东西的文章。贝叶斯方法是正确的方法。

一般来说，P(biased coin|k head) = (2^k)/[(2^k) + 99] 其中 k 是连续正面的数量

所以如果把戏法硬币扔了 3 次 (2^3)/[(2^3) + 99] = 8/(8+99) = 8/107 = 0.07

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