如果$\Omega$是可数的，那么我们可以不失一般性地用整数标记结果并设置$\Omega = \{1, 2, \dots\}$. 这是从可数性的定义得出的。

也就是说，即使我们对从瓮中捡球的实验感兴趣，我们也可以用整数标记样本空间中的结果。例如，也许我们让“$1$“表示所有球都是红色的结果，”$2$“结果是第一个是蓝色的，其余的是红色的，等等以某种连贯的方式。

因此，考虑以下情况就足够了$\Omega$是自然数，或者如果我们还想处理有限空间，它的某个子集。上的指标$\Omega$被认为是$d(x, y) = I(x \neq y)$, 取值 1 如果$x \neq y$否则为 0。

现在你可以检查$^*$所有的点都在$\Omega$是开集，并且所有开集的并集都是开集。但这意味着每个子集$\Omega$是一个 Borel 集。请记住，Borel 集是 Borel 中的集$\sigma-$代数，$\mathcal B = \sigma(\mathcal O)$， 在哪里$\mathcal O$是的开子集$\Omega$.

由于所有子集都是可测量的，因此通常不会打扰 Borel$\sigma-$离散空间上的代数，而是直接声明$\Omega$是可测量的。

$^*$让我们证明这一点。在度量空间中，一组$A$是开放的，如果对于每个$x\in A$存在一个$\epsilon >0$使得所有点在$\epsilon-$球$x$也在$A$.

在我们的例子中，取$A = \{x\}$对于任意$x \in \Omega$并修复一个$\epsilon < 1$， 说$\epsilon = 1/2$. 然后，$x$是唯一的开放点$1/2-$球$x$（回想一下，度量是 1 或 0），并且$x\in A$根据定义，我们得出结论$A$开了。也就是说，任何一点都是开集。