一个的pdf$\chi^2_k$分布是，

$$f(x) = 2^{-k/2} \Gamma{(k/2)}^{-1} x^{k/2 - 1}e^{-x/2}.$$

我们需要找到$x^*$这样$x^* = \arg \max_\limits{x > 0} f(x)$. 然后$x^*$是模式。注意$\arg \max_\limits{x > 0} f(x) = \arg \max_\limits{x > 0} \log f(x)$，所以我们将通过最大化 pdf 的 log 来找到模式最大化pdf（这变得更容易）。

$$\begin{align*} \log f(x) &= -\dfrac{k}{2} \log 2 - \log \Gamma(k/2) + \left(\dfrac{k}{2} - 1 \right) \log x - \dfrac{x}{2}\\ \dfrac{\log f(x)}{dx} &= \left(\dfrac{k}{2} - 1 \right) \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2} \overset{set}{=} 0\\ \Rightarrow x^* &= k-2 \end{align*}$$

因此我们得到模式是。如果，则模式为，因为 pdf 在正数上减少。$x^* = k-2$$k \leq 2$$0$$\chi^2$

编辑：要验证第二个导数是否为负，请查看下面的@MatthewGunn 评论。

Greenparker的解是正确的，可以证明二阶导数小于0。将x=k-2 -> k=x+2代入得到的二阶导数解（即-(((x+2)/2 )-1)*x^-2)

因此我们得到 (-x/2)*(x^-2) 是负数。因此双导数为负。