对于单个概率参数，区间$\mathscr{P} \equiv [0,1]$是“所有有效概率和唯一有效概率”的集合。因此，当他们说 Beta 发行版“支持”时$\mathscr{P}$, 他们的意思是对于任何随机变量$p \sim \text{Beta}$我们有：

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(p \in \mathscr{P}) &= 1, \\[6pt] \mathbb{P}(p \in \mathscr{S}) &<1 \text{ for every closed (measureable) set } \mathscr{S} \subset \mathscr{P}. \end{aligned} \end{equation}$$

换句话说，区间$\mathscr{P}$是包含的最小闭集$p$概率为一。非正式地，这可以被认为是一组可能值的闭包$p$. （请注意，当您扩展到概率向量时，狄利克雷分布也会发生相同的推理。）支持也可以被认为是具有非零密度的值集的闭包，因此这里是另一种考虑支持的方式就是它：

$$\mathscr{P} = \text{cl} \{ p \in \mathbb{R} | \text{Beta}(p|\alpha,\beta) > 0 \}.$$

我认为最好这样阅读：

beta 先验具有并且仅支持所有有效概率

但是，我认为就其含义而言，它有点多余？

我想为您的问题提供一个非技术性的答案。

beta 分布通常用于建模比例的上下文中。

例如，假设您（随机）选择 100 个地理站点进行研究，并为每个站点跟踪该站点区域中可以归类为“森林”的比例。（如果第一个站点20%的面积可以归类为“森林”，兴趣比例为0.20等）

如果您用 X 表示定义为“可归类为森林的场地面积比例”的随机变量，那么您可能希望假设 X 服从 beta 分布。

这个 beta 分布支持 (0,1) 是什么意思？

它只是意味着 X 的可能值跨越区间 (0,1)。特别是，您研究中收集的 X 的 100 个已实现值都应严格大于 0 且严格小于 1。

如果您选择的站点始终包含森林和草的混合物，这很好。

但是，如果您对可能全是森林、全是草或两者兼而有之的网站感兴趣怎么办？

然后，您可能必须通过零和一的膨胀 beta 分布对 X 进行建模，其支持是区间 [0,1]。在这种情况下，X 分布的支持告诉您 X 的可能值可以存在于区间 [0,1] 内的任何位置（包括该区间的边缘）。对于有 100 个站点的示例，这可能意味着这些站点中的一小部分将没有森林，一小部分将有一些森林，而一小部分将只有森林。