让我们考虑一个正常的样本。自从

$$\sigma^{-2}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}_n)^2\sim\chi^2_{n-1}$$ 这也是一个伽玛 $\mathcal{Ga}(n-1,1/2)$变数$3/2$这个变量的时刻是 $$\int_0^\infty z^{3/2}z^{n-1-1}\exp\{-z/2\}2^{-(n-1)}\Gamma(n-1)^{-1}\text{d}z=\frac{2^{(n-1)+3/2}\Gamma(n-1+3/2)}{2^{n-1}\Gamma(n-1)}$$ IE $$\frac{2^{3/2}\Gamma(n-1+3/2)}{\Gamma(n-1)}$$ 这意味着 $$\frac{\Gamma(n-1)}{2^{3/2}\Gamma(n-1+3/2)}\left\{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}_n)^2\right\}^{3/2}$$ 是一个无偏估计量$\sigma^3$在正常情况下。现在，正如我之前对先前问题的回答中所讨论的那样，该估计器没有为其他尺度分布族提供无偏估计器，并且对于所有分布都没有这样的估计器，这与Peter Bickel 和 Erich Lehmann 1968 年的一篇论文有关。