机器算法验证 - 泊松分布的 MLE 未定义，观测值为零 - 吾爱随笔录

机器算法验证最大似然泊松分布无偏估计器

2022-04-19 02:13:25

认为 $x_1, x_2, ..., x_n$ 是 IID 随机变量的观察值 $X_1, X2, ..., X_n$ 从泊松分布，即， $P(x)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}$ .

MLE 为 $\lambda$ 仅当至少有一个值时才定义（作为观察值的平均值） $x_i$ 大于零；否则对数似然函数是 $l(\lambda)=-\lambda n$ 并且 MLE 未定义（ $?$ ）。

所以，在计算这个估计量的偏差时我很困惑，因为全零值观察的情况实际上具有非零概率，在找到平均值时如何考虑这一点 $\hat{\lambda}$ .

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2个回答

给定观测值的泊松似然函数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是

l (λ; x) = \prod_{i} e^{- λ} \frac{λ^{x_{i}}}{x_{i}!} = \frac{e^{- n λ}}{x_{1}! x_{2}! \dots x_{n}!} λ^{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}

$l(\lambda; x) = \prod_i e^{-\lambda}\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} = \frac{e^{-n\lambda}}{x_1!x_2!\cdots x_n!}\lambda^{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}$

如果 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$ 然后这变成

l (λ; x) = e^{- n λ}

$l(\lambda; x) = e^{- n \lambda}$

什么时候最大化 $\lambda = 0$ .

所以在这种情况下 MLE 确实存在，它是 $\lambda = 0$ .

我仍然认为当所有观测值都为零时，MLE 是未定义的。但是，这不会影响此 MLE 的期望或方差，因为全零观测值的平均值为零，这对这些计算没有任何影响，无论此时 MLE 是定义还是未定义。

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