对于财务数据，我已成功使用重尾 Lambert W x Gaussian 变换。

• Pyhon：是Python 中算法gaussianize的 sklearn 类型实现。IGMM

• C++：lamW R 包有一个优雅的（和快速的）Lambert 的 W 函数的 C++ 实现。这可以作为用于 Lambert W x Gaussian 变换的 IGMM 或 MLE 的完整 C++ 实现的起点。

• R：LambertW R 包是 Lambert W x F 框架（模拟、估计、绘图、转换、测试）的完整实现。

作为一个例子，考虑SP500R 中的返回序列。

library(MASS)
data(SP500)
yy <- ts(SP500)
library(LambertW)
test_norm(yy)

## $seed
## [1] 516797
## 
## $shapiro.wilk
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value <2e-16
## 
## 
## $shapiro.francia
## 
## 	Shapiro-Francia normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value <2e-16
## 
## 
## $anderson.darling
## 
##  Anderson-Darling normality test
## 
## data:  data
## A = 20, p-value <2e-16

众所周知，财务数据通常有肥尾，有时呈负偏态。对于这种SP500情况，偏度不是太大，但它表现出高峰度 (7.7)。还有几个正态性检验清楚地拒绝了边缘高斯分布的原假设。

由于我们只需要处理重尾而不是偏度，让我们使用矩估计器的方法拟合重尾兰伯特 W x 高斯分布（也可以使用最大似然估计器 (MLE) MLE_LambertW()）。

# fit a heavy tailed Lambert W x Gaussian
mod <- IGMM(yy, type = "h")
mod

## Call: IGMM(y = yy, type = "h")
## Estimation method:  IGMM 
## Input distribution:  Any distribution with finite mean & variance and kurtosis = 3. 
## mean-variance Lambert W x F type ('h' same tails; 'hh' different tails; 's' skewed):  h 
## 
##  Parameter estimates:
##    mu_x sigma_x   delta 
##    0.05    0.72    0.16 
## 
##  Obtained after 4 iterations.

重尾参数与零显着不同，意味着重尾。对于这样的矩，。$\widehat{\delta} = 0.16$$\delta$$1 / \widehat{\delta} = 6.29$

模型检查问题当然是反向转换的数据是否确实具有高斯分布。让我们再次检查test_norm()：

# transform data to input data (which presumably should have Normal distribution); use return.u = TRUE to get zero-mean, unit variance data
xx <- get_input(mod, return.u = FALSE)
test_norm(xx)

## $seed
## [1] 268951
## 
## $shapiro.wilk
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value = 0.2
## 
## 
## $shapiro.francia
## 
## 	Shapiro-Francia normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value = 0.2
## 
## 
## $anderson.darling
## 
##  Anderson-Darling normality test
## 
## data:  data
## A = 0.7, p-value = 0.07

我认为情节和正态性测试结果不言自明。

该包还提供了一个函数，可以一次完成所有这些步骤：（Gaussianize()这也是 Python 包实现的）。

看来您只是要求进行正常性测试。如果是这样，夏皮罗-威尔克很难被击败。然而，这并不是万神殿中最容易实施的测试。

为什么不直接使用 R？该shapiro.test功能将为您完成工作。