机器算法验证 - 给定一个 pmf，如何计算 cdf？ - 吾爱随笔录

机器算法验证分布密度函数累积分布函数离散数据

2022-04-09 09:27:35

给定 X（随机变量）的 pmf（概率质量函数）：

\begin{array}{ccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ p (x) & 0.4 & 0.3 & 0.2 & 0.1 \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&1&2&3&4\\ \hline p(x)&0.4&0.3&0.2&0.1\\ \hline \end{array}$

由于您不知道介于两者之间的值，您如何知道的值的 cdf ？ $1 \leq x < 2$

2个回答

鉴于您正在谈论整数上的离散随机变量，您当然应该知道 pmf 在这些值之间的行为 - 它在（比如说）和之间的任何间隔内取任何值的概率是。 $1$ $2$ $0$

因此，您也确实知道 cdf的行为方式，因为它只是直到的所有概率的总和。无论您要添加多少个零，它们都不会改变任何东西。 $F(x)$ $x$

有关这一点的进一步讨论，请参阅维基百科的累积分布函数；定义

...以及紧随其后的两个部分（属性和示例）。您可能会发现“属性”部分右侧的离散 cdf 绘图很有帮助（它位于顶部）。

这是一个与您的问题中的分布略有不同的示例（尽管它大致相似）。

您可以使用 delta 函数计算 CDF。表达 PMF 如下，

p (x) = (0.4) δ (x - 1) + (0.3) δ (x - 2) + (0.2) δ (x - 3) + (0.1) δ (x - 4)

$p(x) = (0.4) \delta(x-1) + (0.3) \delta(x-2) + (0.2) \delta(x-3) + (0.1) \delta(x-4)$ 然后根据定义，通过积分给出 CDF，如果

P (x)

$P(x)$ 那么是CDF，

P (x) = \int_{- \infty}^{x} p (y) d y

$P(x) = \int_{-\infty}^x p(y) ~ dy$ 观察如果

x < 1

$x<1$ 然后每个 delta 函数都消失了，所以

P (x) = 0

$P(x) = 0$ .

如果 $1<x<2$ 那么对积分有贡献的唯一 delta 函数是 $\delta(x-1)$ ，所以我们看到 $P(x) = (0.4)$ 在这个区间。

现在可以对其他倒数执行相同的程序。

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