机器算法验证 - min(X+Y,Y+Z,X+Z,Z+V,X+V,Y+V) 的分布？ - 吾爱随笔录

min(X+Y,Y+Z,X+Z,Z+V,X+V,Y+V) 的分布？

机器算法验证自习分布数理统计

2022-04-03 09:55:54

让 $X,Y,Z,V$ 是区间内的连续随机变量 $[a,b]$ . 会有什么分布 $\min(X+Y,Y+Z,X+Z,Z+V,X+V,Y+V)$ ? 假设随机变量的分布为 $F(.)$ ，其中 $F(a)=0$ 和 $F(b)=1$ 。

我的尝试：-

令 $W=\min(X+Y,Y+Z,X+Z, Z+V,X+V,Y+V)$ 。我们需要找到 $P(W\leq w)$ 。这意味着 $P(X+Y \leq w \wedge Y+Z\leq w\wedge X+Z\leq w \wedge Z+V\leq w\wedge X+V\leq w\wedge Y+V\leq w)$ . 但是这些总和不是独立的，所以我无法进一步进行。

此类问题的一般方法应该是什么？

1个回答

你的符号没有帮助。将问题改写为 and 然后你可以用订单统计并推断是其中两个顺序统计量的特定总和，从而得出结论。实际上，并且，因为可以从卷积步骤

X_{1}, \dots, X_{4} \overset{iid}{\sim} f (x)

$X_1,\ldots,X_4\stackrel{\text{iid}}{\sim} f(x)$

Y = min {X_{1} + X_{2}, X_{1} + X_{3}, X_{1} + X_{4}, X_{2} + X_{3}, X_{2} + X_{4}, X_{3} + X_{4}}

$Y=\min\{X_1+X_2,X_1+X_3,X_1+X_4,X_2+X_3,X_2+X_4,X_3+X_4\}$

Y

$Y$

X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq X_{(3)} \leq X_{(4)}

$X_{(1)}\le X_{(2)}\le X_{(3)}\le X_{(4)}$

Y

$Y$

Y = X_{(1)} + X_{(2)}

$Y=X_{(1)}+X_{(2)}$

(X_{(1)}, X_{(2)}) \sim \frac{4!}{2!} f (x_{(1)}) f (x_{(1)}) [1 - F (x_{(2)})]^{2}

$(X_{(1)},X_{(2)})\sim \frac{4!}{2!}f(x_{(1)})f(x_{(1)})[1-F(x_{(2)})]^2$

Y

$Y$

Y \sim \int_{- \infty}^{\infty} \frac{4!}{2!} f (x_{(1)}) f (y - x_{(1)}) [1 - F (y - x_{(1)})]^{2} d x_{(1)}

$Y\sim\int_{-\infty}^{\infty} \frac{4!}{2!}f(x_{(1)})f(y-x_{(1)})[1-F(y-x_{(1)})]^2\,\text{d}x_{(1)}$

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