不需要和解。在一种情况下，您指的是最大似然估计器的采样分布，它是数据的函数。另一方面，您指的是实际模型参数的后验分布。两个不同的参照物；两种不同的解决方案。

共轭的优点是我们为后验分布得到了很好的封闭形式的解决方案，这种能力取决于似然函数的形式，而不是最大似然估计器的采样分布。

如果我们查看正态似然函数，我们会看到：

$$\mathcal{L}(\sigma^2) \propto \sigma^{-n}\exp\left(-{\sum X_i^2\over 2\sigma^2}\right)$$

请注意项是如何全部在比率的各种分母中，而不是在分子中。为了保持共轭，我们需要找到一个看起来相似的分布：$\sigma^2$

$$p(\sigma^2) \propto \sigma^{-a}\exp\left(-{b\over\sigma^2}\right)$$

这将导致具有相同形式的后验：

$$p(\sigma^2|X) \propto \sigma^{-(a+n)}\exp\left(-{b+\sum X_i^2\over\sigma^2}\right)$$

...并且该分布是逆伽玛。

如果我们使用精度作为我们选择的参数，我们将有：$\beta = 1/\sigma^2$

$$\mathcal{L}(\beta) \propto \beta^{n}\exp\left(-{\sum X_i^2\over 2}\beta\right)$$

显然，共轭先验将是 Gamma 分布。请注意，在前一种情况下，项和项分别位于比率的分子和分母中；这导致（嗯，你必须做数学）分别得到 Gamma 和逆 Gamma 分布。在后一种情况下，与一起在分子中，并且在这两种情况下我们都有 Gamma 分布。$\sum X_i^2$$\sigma^2$$\beta$$\sum X_i^2$