机器算法验证 - 如果两个随机变量的支持有依赖关系，它们是独立的吗？ - 吾爱随笔录

如果两个随机变量的支持有依赖关系，它们是独立的吗？

机器算法验证自习密度函数独立联合分配

2022-04-16 11:32:02

这可能是一个非常愚蠢的问题，但是在和的联合 PDF 中，，如果随机变量的支持取决于，那么这两个随机变量是否必然依赖？例如，如果一个人有，其中，那么我们可以通过检查支持而不是查看支持来判断和不是独立的1 ? 我的直觉表明他们不能独立。 $X$ $Y$ $f_{XY}(x,y)$ $Y$ $X$ $f_{XY}(x,y)=1/x$ $0<y<x<1$ $X$ $Y$ $1/X$

1个回答

我已经说服了自己的答案，所以我正在回答我自己的问题。

我已经确定，如果和在支持双变量 pdf 时存在依赖关系，则和不能独立。可以肯定的是，有一个引理（Casella and Berger's Statistical Inference, 2d 中的 4.2.7）指出：让 ( , ) 是具有联合 pdf 或 pmf的二元随机向量。那么和是独立随机变量当且仅当存在函数和使得对于每个和： $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $f(x,y)$ $X$ $Y$ $g(x)$ $h(y)$ $x$ $\in\mathbb{R}$ $y$ $\in\mathbb{R}$

$f(x,y)=g(x)h(y)$

如果我们将支持（例如）作为联合 pdf 中的指示函数（例如那么联合 PDF 不能写成只有和只有的乘积，所以和不能独立。） $0<y<x<1$ ${f_{XY}(x,y)=xy}I_{(0<y<x<1)}$ $g(x)$ $h(y)$ $X$ $Y$

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