机器算法验证 - 对数正态分布的“平均值” - 吾爱随笔录

对数正态分布的“平均值”

机器算法验证意思是

2022-04-10 14:56:22

$X \sim N(\mu,\sigma^2)$

$Y = \frac{\exp(X)}{1+\exp(X)}$

Y 具有对数正态分布。

当我对平均值有正确的估计时，说 $\bar{Y}$ ，对数正态分布，如何使用它来得到正确的估计 $\mu$ ?

我没有来自 logit 正态分布的完整样本，但只有正确的平均值估计。我知道 $\log(\dfrac{\bar{Y}}{1-\bar{Y}})$ 由于 Jensen 不等式，这不是正确答案。

1个回答

这里出现的积分就是所谓的逻辑正态积分。将其表示为

φ (μ, σ) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{1 + e^{- x}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (x - μ)^{2}}

$\begin{equation} \varphi(\mu,\sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+e^{-x}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2} \end{equation}$

那么需要解方程 $\varphi(\mu,\sigma) = \bar Y$ . 必须假设 $\sigma$ 是已知的，以便能够解出这个方程。

可以证明 $\varphi(\mu,\sigma)$ 可以精确地计算在 $\mu = 0, \pm \sigma^2, \pm 2 \sigma^2, \cdots$ . 这在Pirjol (2013)中有所体现。

（积分是解析数论中 Mordell 积分的极限情况，并且有许多令人惊讶的对称性。）那么这只是括号的问题 $\bar Y$ 在间距网格上的两点之间 $\sigma^2$ ，并求解 $\mu$ .

参考

Pirjol, D. (2013)。“逻辑正态积分及其推广。” 计算与应用数学杂志，237（1），460-469。

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