有人建议这可能比我之前问过的数学堆栈交换更适合这个问题。
假设一个人有一个黑盒函数，它可以在指定时间间隔内的任何地方（廉价）进行评估并且没有噪音（比如说浮点粒度除外）。找到这个函数的不连续性的最好方法是什么？我不知道可能有多少间断，也可能没有。
我可以想到一些简单的方法（统一采样，在样本之间存在较大差异的地方进行细化，......），但也许有更好的方法？
该函数是“合理的”，因为可以假设它最多具有有限多个不连续性，对于更高阶的导数也是如此，我不介意是否遗漏了小的病理性不连续性......（该应用程序是一维函数的自动绘图） .
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感谢所有回复的人，尤其是佩德罗；Pachón、Platte 和 Trefethen 中描述的方法对我来说似乎是最好的方法，所以我现在去实现它
如果您使用的是 Matlab，您可能对Chebfun 项目感兴趣。Chebfun 获取一个函数，对其进行采样并尝试将其表示为多项式插值。如果您的函数有不连续性，Chebfun 应该能够使用该splitting on命令检测到它们。您可以在此处找到一些示例。
如果您对底层算法感兴趣，可以参考 Pachón、Platte 和 Trefethen 的论文“ Piecewise Smooth Chebfuns ”。
我怀疑 chebfun 算法一定看起来更实用，但有必要再提一种检测不连续性的方法，即离散小波变换。您可以通过查看此 Mathematica 文档页面了解它的工作原理，请参阅 > 应用程序 > 检测不连续性和边缘部分。
简单来说，可以取 DWT 的在均匀采样点并查看高频系数。其中最大的很可能对应于不连续点。
加权基本非振荡 (WENO) 方法使用“平滑度指标”来检测有限体积和差分方法中的不连续性。从 Pedro 对 Chebfun 的描述来看，总体思路似乎是相同的：构造一组插值多项式并使用它们来计算某种平滑度。
参见 GS Jiang 和 CW Shu，加权 ENO 方案的有效实施，J.Comput.Phys.，第一卷。126，第 202--228 页，1996 年。
与@Pedro 一起，我将研究边缘检测算法。不连续性是导数的无穷大，因此请考虑查看越来越精细的网格并瞄准感兴趣的区域。
随着网格的细化，对连续函数的导数的有限差分近似应该减小。比较网格之间导数的有限差分结果可以揭示梯度的发散，这表明不连续性。
编辑：好的，所以虽然不连续性具有无限导数，但无限导数并不总是不连续性（感谢@n00b 指出一个例子）。举个例子在，有限差分将随着步长减小，正如我所描述的，即使解析导数不是连续的。