计算科学 - 带导数的数值求积 - 吾爱随笔录

带导数的数值求积

计算科学正交误差估计

2021-12-11 21:48:52

大多数求积的数值方法将被积函数视为黑盒函数。如果我们有更多信息怎么办？特别是，如果有的话，我们可以从知道被积函数的前几个导数中得到什么好处？还有哪些其他信息可能有价值？

特别是对于导数：基本正交（矩形/梯形/辛普森规则）的误差估计密切相关。也许有一种方法可以预先选择采样分辨率而不是依赖于动态适应性？

我对单变量和多维案例都感兴趣。

4个回答

我认为这与您的想法不太一样，但是为了完整起见，让我们从一些基础知识开始。大多数正交公式（例如 Newton-Cotes 和 Gauss）都基于这样一种思想，即为了近似地评估函数的积分，您可以通过例如一个多项式来近似该函数，然后您可以精确地积分：

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

Newton-Cotes 和 Gauss 基于拉格朗日插值，这意味着您可以使用一组节点上的值对给定函数进行插值 $x_j$ （对于 Newton-Cotes 是均匀间隔的，对于 Gauss 在某种意义上是最佳选择）。在这种情况下， $c_j = f(x_j)$ ，以及多项式节点基函数上的积分 $p_j$ 正是正交权重。

相同的方法适用于Hermite 插值，即使用函数的值及其导数在一组节点上达到特定顺序的插值。仅在函数和一阶导数值的情况下，您有

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$ （有一个Matlab 实现，如果你想看看它是如何工作的。）

这与称为 Gauss-Legendre 正交的高斯正交变体有关，其中精确选择节点以生成权重 $\bar w_j$ 消失（这是对高斯正交与 $N$ 节点是准确的顺序 $2N-1$ ）。我认为这至少部分回答了您在第二段中的问题。出于这个原因，通常使用高斯求积而不是 Hermite 插值，因为您可以获得相同的阶数和相同的点数，但不需要导数信息。

对于多维求积，您面临的问题是您需要评估的导数（包括混合导数）的数量随着阶数的增加而快速增长。

回到您的问题：利用衍生信息的一种直接方法是使用集成域的细分，并为每个部分使用单独的正交。如果您知道函数的导数在域的某些部分很大，则可以使用较小的域（实际上是求和的求积公式）或更高的求积阶。这与h和p 自适应性有关分别与有限元方法中

有许多“更正”的集成规则调用端点的衍生物。一个简单的例子是修正梯形规则。假设我们希望近似积分

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

让 $n$ 是一个整数，并且 $h=(b-a)/n$ . 那么梯形法则

T = \frac{h}{2} (f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2 h) + \dots + 2 f (a + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

提供了一个简单的积分近似，有阶误差 $h^2$ . 然而，“修正的”梯形规则：

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (a))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

大大提高了准确性。例如，考虑

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

并选择 $n=8$ . 的确切值 $I$ , 到小数点后 14 位, 是

0.74682413281243

$0.74682413281243$

和价值观 $T$ 和 $T'$ 是

0.7458656148457, 0.74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

分别。错误是

| I - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

和

| I - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

显示准确率显着提高。还有涉及更高导数的进一步修正，或者从其他牛顿-科茨规则或高斯类型规则开始。

除了其他答案中提到的基于 Newton-Cotes 的方法外，还有现在称为Gauss-Turán 正交的方法（参见例如this和this，以及古老的参考Walter Gautschi这是通常的高斯求积的推广，现在可以利用函数导数的知识来找到一组最优的横坐标和权重，从而产生一个积分形式的函数的求积规则 $\text{polynomial}\times\text{weight function}$ 确切地。正如预期的那样，要使用此规则，现在希望能够评估您的函数及其在任意实点处的许多导数。在通常的地方搜索应该能够找到更多的参考资料。

虽然这个线程已经很老了，但我认为参考同行评审的论文来概括一些常见的正交规则可能会很有用。

Nenad Ujevic，“修改后的辛普森规则和误差范围的概括”，ANZIAM 杂志，卷。2005 年第 47 期。

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

我认为提供一个可以免费访问的好参考资料会很有用，并且参考了其他论文。

正如 Alasdair 上面提到的，包括端点的导数可以显着提高准确性。例如，Ujevic 和 Roberts 表明，将一阶导数添加到辛普森规则可将网格间距的误差降低到 6 阶，而没有导数则为 4 阶。Ujevic 的论文表明可以找到更严格的错误界限。

N. Ujevic 和 AJ Roberts，修正的求积公式和应用，ANZIAM J.，45(E)，(2004)，E41–E56。 http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

（Christian Clason 建议我将我所做的评论移到答案中，因为他认为我提供的参考是好的，如果在某个阶段删除评论，它们可能会丢失。）

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