多重网格 (MG) 可用于求解线性系统通过构建初始猜测并重复以下直到收敛：
多重网格循环是一些平滑、插值、限制和精确粗网格求解操作的序列，应用于生产. 这通常是 V 循环或 W 循环。这是一个线性运算，所以我们写.
可以将此过程解释为预处理 Richardson 迭代。也就是说，我们更新.
Richardson 迭代是一种典型的 Krylov 子空间方法，它建议使用多重网格循环来预处理其他 Krylov 子空间方法。这有时被称为使用 Krylov 方法的“加速”多重网格，或者可以看作是 Krylov 方法的预处理器的选择。
扩展上述算法的另一种方法是采用完全多重网格 (FMG)。有关简明描述，请参阅此答案。
在什么情况下，Krylov 加速 MG 优于 MG 或 FMG？
在某些情况下，(F)MG 提供了一种具有最佳属性的算法。例如，经过适当调整的 FMG 可以在少量“工作单元”中解决一些椭圆问题，其中工作单元被定义为表达问题本身所需的计算量——在这种情况下，形成残差的操作在最好的网格上。这是一种如此高效（因此难以击败）的算法，它是 HPC 基准测试的基础，旨在测量超级计算机解决实际物理问题 ( HPGMG ) 的最大容量。如果有这样的方法，当然建议使用它。
然而，在许多实际情况下，并未使用最优或有效的多重网格方法。这可能是因为
在这些情况下，解决方案可能会因错误而降级，而该错误不会像多重网格循环那样减少。然而，如果这个误差包含在低维子空间中，Krylov 方法可以在少量迭代中解决这个误差，因此在不完美的多重网格求解后“清理”。也就是说，如果有一些离群的特征值，Krylov 方法应该能够捕获相应的特征空间。
请注意，选择使用次优方法可能会导致“更便宜”的多重网格循环，以至于 Krylov 加速得到了回报。也就是说，可能存在 Krylov 加速 MG 的性能优于 MG 的问题（和计算系统）。我有兴趣找到一个具体的例子。
（感谢上面的@chris 和Matt Knepley，他在教程中提到了上面的一些内容）