计算科学 - 与 Adams-Bashforth 算法相比，使用 Adams-Moulton 的相对优势是什么？ - 吾爱随笔录 - 问答

与 Adams-Bashforth 算法相比，使用 Adams-Moulton 的相对优势是什么？

计算科学 pde 算法有限元误差估计

2021-11-27 00:48:26

我正在计算两个空间维度和时间上的两个耦合 PDE 的系统。由于函数评估很昂贵，我想使用多步方法（使用 Runge-Kutta 4-5 初始化）。

使用五个先前函数评估的 Adams-Bashforth 方法的全局误差为 $O(h^5)$ （在这种情况下 $s=5$ 在下面引用的 Wikipedia 文章中），并且每个步骤需要一个函数评估（每个 PDE）。

另一方面，Adams-Moulton 方法每一步需要两个函数评估：一个用于预测步骤，另一个用于校正步骤。再一次，如果使用五个函数评估，全局误差是 $O(h^5)$ . ( $s=4$ 在维基百科文章中）

那么使用 Adams-Moulton 而不是 Adams-Bashforth 的原因是什么？对于函数评估次数的两倍，它具有相同顺序的错误。直观地说，预测校正方法应该是有利的，但有人可以定量地解释这一点吗？

参考：http ://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Adams.E2.80.93Bashforth_methods

1个回答

Adams-Moulton 方法明显更稳定。当我被教导差异时使用的类比与外推和内插相同。插值在数值上是相对安全的。如果碰巧有渐近线或其他一些奇怪的特征，外推可能会爆炸。

例如，解决颂歌

$y'(t) = -y(t)$ 和 $y(0) = 1$

使用 3 阶 Adams-Bashforth 方法实际上会随着时间步长的减少而变得更加不稳定。通过添加校正步骤，您可以避免大部分这种不稳定性。此处显示了两种方法的稳定性区域图：

在此处输入图像描述

情节取自Gregory Baker 和 Edward Overman 的《科学计算的艺术》。 $\lambda$ 是 ODE 的特征值， $h$ 是时间步长。注意 $\lambda$ 可以是复杂的，所以地块在复杂的平原上。如果 $\lambda h$ 在稳定空间内，颂歌会收敛。如果在外面，最终时间积分会变得不稳定。请注意，为了稳定，您的 ODE 或 ODE 系统的所有特征值都必须在稳定区域内。

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