计算科学 - 哪些空间离散化适用于具有各向异性边界网格的不可压缩流？ - 吾爱随笔录

哪些空间离散化适用于具有各向异性边界网格的不可压缩流？

计算科学 pde 有限元流体动力学稳定不可压缩

2021-12-22 00:44:49

高雷诺数流动产生非常薄的边界层。如果在大涡模拟中使用壁分辨率，则纵横比可能约为。许多方法在这种情况下变得不稳定，因为 inf-sup 常数随着纵横比的平方根或更差而降低。inf-sup 常数很重要，因为它影响线性系统的条件数和离散解的逼近性质。特别是，以下关于离散误差保持的先验界限（Brezzi 和 Fortin 1991） $10^6$

\begin{aligned} μ ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq C [\frac{μ}{β} inf_{v \in V} ‖ u - v ‖_{H^{1}} + inf_{q \in Q} ‖ p - q ‖_{L^{2}}] \\ ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq \frac{C}{β} [\frac{μ}{β} inf_{v \in V} ‖ u - v ‖_{H^{1}} + inf_{q \in Q} ‖ p - q ‖_{L^{2}}] \end{aligned}

$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$

其中 $\mu$ 是动态粘度， $\beta$ 是 inf-sup 常数。由此我们看到，当 $\beta \to 0$ 时，速度和（尤其是）压力近似值变得比有限元空间中可用的最佳值更差（即 Galerkin 最优性常数随着 $\beta^{-1}$ 和 $\beta^{-2}$ 分别）。

哪些方法具有独立于纵横比的统一 inf-sup 稳定性？

其中哪些可用于非结构化网格？

估计如何推广到高阶近似？

1个回答

MAC 有限差分方案（Harlow 和 Welch 1965）是一致稳定的，但需要平滑的结构化网格并且只有二阶精度。

有限元方法是非结构化和高阶方法的首选。对于连续 Galerkin 有限元方法，没有已知空间具有最佳逼近特性并且是一致稳定的。

$Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ 具有最优逼近性质并且是局部保守的，但是 inf-sup 常数随着纵横比的平方根而退化。有关详细信息，请参阅 Bernardi 和 Maday 1999。
$Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ 具有独立于纵横比的 inf-sup 常数并且是局部保守的，但是 inf-sup 常数缩放为随着多项式阶数的增加（Maday et al. 1992）在形状规则的网格上。在具有悬挂节点或重入角的网格上，此界限在 2D 中是尖锐的（Schoetzau 等人 1998），但在 3D 中进一步退化为（Toselli & Schwab 2003）。 $\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$ $k^{-3/2}$
来自 Rannacher & Turek 1994的旋转元素是一致稳定的，具有最优近似属性，并且是局部保守的，但它不满足离散的 Korn 不等式，因此它需要对某些边界条件进行边界校正，不能用于可变粘度流动。作者的后续工作试图使用边缘通量稳定这些方法，但由此产生的离散化失去了许多有吸引力的效率特性。 $Q_1-P_0$
Ainsworth 和 Coggins 2000 构建了技术含量高的空间，这些空间做得更好，但似乎效用有限。

对于不连续的 Galerkin，图片要好一些：

不连续空间是一致稳定的，并具有最佳近似属性（Schoetzau、Schwab 和 Toselli 2004）。这种组合不适用于连续速度空间。inf-sup 常数仍然取决于多项式次数，但是，缩放为。 $Q_k-Q_{k-1}$ $k^{-3/2}$

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