如果不允许使用分析技术但已知周期性结构，则这是一种方法。让

$$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$$ 以周期为周期$2 \pi$， 以便 $$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$$ 在哪里 $$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$$ 因此， $$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$$ 您可以近似积分$w_j$直接或计算一堆$f(x)$值并使用 DFT。在任何一种情况下，您都可以将理查森外推法应用于结果。因为在你的情况下$g(x)$是在邻域内解析的$\mathbb{R}$，即使没有理查森，最终级数也呈指数收敛。

为了$x = 2\pi a/b$和$a,b$整数，我们有

$$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$$ 在哪里$\psi^1(z)$是 trigamma 函数（http://en.wikipedia.org/wiki/Polygamma）。以下是去除了伪影的函数及其导数的图：

Levin u 变换怎么样？除了 Fortan 代码，GSL中还有几个版本：`gsl_sum_levin_u*'。Matlab 的MuPAD和Maple使用这种方案。