如果您能击败曹书豪的建议，我会感到惊讶：计算船体，然后在对船体进行三角剖分后计算体积。你可以用$O(n^2)$增量算法，或礼品包装算法。如果你真的想要简单的代码，你可以简单地写一个$n^4$遍历所有可能的三角形，看看它们是否在船体上。为了$n=15$，这仍然相当快，并且您可以轻松实现快捷方式。一旦你有了所有的三角形面，然后选择一个顶点$v$并用每个三角形制作一个四面体$T$和$v$. 它的体积是$4 \times 4$顶点坐标的行列式。

MATLAB中的一个小测试，用于顶点数$N = 100$, 每个分量都是一个统一的随机数$[0,1]$：

N = 100;
p=rand(N,3);
tic;
T = delaunayTri(p(:,1),p(:,2),p(:,3));
t = T.Triangulation;
e1 = p(t(:,2),:)-p(t(:,1),:);
e2 = p(t(:,3),:)-p(t(:,1),:);
e3 = p(t(:,4),:)-p(t(:,1),:);
V = abs(dot(cross(e1,e2,2),e3,2))/6;
Vol = sum(V);
time_elapse = toc;

结果：

time_elapse =
              0.014807
Vol =
      0.67880219135839

我会说它相当快，如果你想运行它$10^6$次，只需要不到3个小时。这是它的样子：

另外我想提一下，在 O'Rourke 教授的帖子中，他提到使用行列式计算四面体的体积，但在这里我更喜欢使用三重乘积。它是一种自然的向量化操作，比行列式的内置例程更具可扩展性（或者您可以扩展$4\times 4$手动行列式：p）。这是另一个测试$N=10^5$，结果是

time_elapse =
              3.244278
Vol =
     0.998068316875714

有四面体数$\approx 7\times 10^5$. 请注意，总成交量非常接近$1$因为有太多的点聚集在$[0,1]^3$.

来自 Komei Fukuda 的多面体计算常见问题解答：

2.23 是否有任何有效的算法来计算凸多面体的体积$R^d$?

众所周知，计算 V-polytope（或 H-polytope）的体积是#P-hard，参见 [DF88] 和 [Kha93]。理论上有有效的随机算法来近似凸体的体积[LS93]，但似乎没有实现。对凸多面体的各种体积计算算法进行了比较研究[BEF00]。这表明没有一种算法可以很好地适用于许多不同类型的多面体。

[DF88] ME Dyer 和 AM Frieze。计算多面体体积的复杂性。暹罗学家计算机。, 17:967-974, 1988。

[Kha93] LG 卡奇扬。多面体体积计算的复杂性。在 J. Pach，编辑，离散和计算几何的新趋势，第 91-101 页。施普林格出版社，柏林，1993 年。

[LS93] L. Lovasz 和 M. Simonovits。凸体中的随机游走和改进的体积算法。 随机结构和算法，4:359-412，1993。

[BEF00] B. Bueler、A. Enge 和 K. Fukuda。凸多面体的精确体积计算：一项实际研究。G. Kalai 和 GM Ziegler，编辑，Polytopes - Combinatorics and Computation，DMV-Seminar 29，第 131-154 页。伯克豪瑟，2000。

尽管 Dyer 和 Frieze 论文的标题如此，这似乎将 3D 问题的细节隐藏在更高维度的困难中。从他们的摘要中：“我们表明，计算多面体的体积，无论是作为一个面列表还是一个顶点列表，都与计算矩阵的永久值一样困难。”

Jim Lawrence 1991 年的一篇论文Polytope Volume Computation可以在线阅读，其中有一些针对特定 3D 案例的参考资料。他写道：“本文中的方法避免了三角测量$P$或其边界。”此外，该论文中描述的算法似乎适合您的情况，因为它表示“$P$作为数字的总和$N_v$, 每个顶点一个$v$的$P$. 这些数字很容易计算，所以程序的难点主要是枚举$P$。”在你的情况下，困难可能转化为找到一个表达$P$作为线性不等式系统的解$P = \{x \in \mathbb{R}^3 : Ax \le b \}$.

如果您已经知道这样的“半空间相交”表达式$P$，那么也许它会允许相当快的计算。